Вравномстороним треугольнике аbc биссиктрисы cm и am пересекаются в точке lmpn

Шаг 1. для удобства описания решения позволю себе обозначить o как o2, f как f1 и e как f2.  шаг 2. обозначим точку пересечения ab и o1 o2 как d.  шаг 3. решение будет симметрично относительно прямой ab, поэтому индексы я опускаю.  рассматриваем треугольник obd: угол d прямой. значит, od^2 = ob^2 - bd^2.  шаг 4. рассматриваем треугольник omd: угол d прямой, значит, om^2 = od^2 + md^2 = ob^2 - bd^2 + md^2.  шаг 5. рассматриваем треугольник omf: угол f прямой, значит, mf^2 = om^2 - of^2 = ob^2 - bd^2 + md^2 - of^2.  вспоминаем, что ob = of = r - радиус окружности, поэтому, mf^2 = md^2 - bd^2.  равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. осталось подставить соответствующие индексы..

Если a и b не лежат в одной плоскости, значит прямые скрещивающиеся, через них плоскость нельзя провести.  докажем от противного. пусть обе плоскости, проведенные через а, будут ||  b. две плоскости параллельны прямой  b, следовательно прямая пересечения а этих двух плоскостей будет параллельна прямой  b. вышло, что  b и а параллельные прямые, а по теореме, через две параллельные прямые можно провести плоскость. получили противоречие условию, так как а и  b не должны лежать в одной плоскости. следовательно, одна из плоскостей, проведенная через а,  не будет параллельна прямой  b.