Основания трапеции равны 16 и 11. найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей

Обозначим трапецию АВСД,   АД=16, ВС=11 Диагональ АС, Точка пересечения диагонали и средней линии О, средняя линия ЕК, Диагональ АС разделила трапецию на два треугольника АВС и АСД, ОК-средняя линия треугольника АСД ОК=16/2=8, ЕО=11/2=5,5 
ответ: 8

Т.к. треугольники подобны, поэтому при делении сторон одного треугольника на подобные стороны другого - получим одно и то же число

в наших треугольниках наименьшие стороны 5 см и 2,5см, т.е. в  раза стороны нашего данного треугольника больше чем у треугольника, которого надо найти. Аналогично делаем со всеми сторонами

рассмотрим средние стороны.
в исходном треугольнике = 6см, знаем что сторона треугольника, который надо найти в 2 раза меньше, поэтому 6/2=3см

аналогично с большими сторонами
8/2=4см

ответ: у второго треугольника стороны 4, 3, 2.5

Каждый пункт легко выполняется с циркуля и линейки.
1) проводятся 2 взаимно перпендикулярные прямые.
2) от точки пересечения вдоль каждой из прямых откладываются отрезки с заданным отношением. 
3) их концы соединяются, и на этой прямой откладывается гипотенуза. 
4) через её концы проводятся прямые параллельно двум прямым до пересечения.
Это всё.

Примечание.
Если задано ОТНОШЕНИЕ катетов, это означает, что где-то на плоскости УЖЕ нарисованы два отрезка с заданным отношением длин. Или - то же самое, для любого отрезка ПРОИЗВОЛЬНОЙ длины УЖЕ ИМЕЕТСЯ ПОСТРОЕННЫЙ ДРУГОЙ отрезок такой длины, что отношение длин равно заданному.
Всё это - не так-то и просто. Например, если отношение равно трансцендентному числу (к примеру, π), то по одному отрезку НЕЛЬЗЯ построить второй с циркуля и линейки. Поэтому ПРИХОДИТСЯ предполагать, что второй отрезок ВОЗНИКАЕТ САМ СОБОЙ, без дополнительных построений, или, что равносильно, уже есть на плоскости два отрезка с заданным отношением, тогда ими можно пользоваться при построении.