Решите : ( в параллелограмме острый угол равен 60 градусам. найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 22, а меньшая диагональ равна 7.

Пусть дан параллелограмм АВСД.
ВД=7
Угол ВАД=60º 
ВН= высота
АВ+АД=Р:2=22:2=11
Примем АВ=х.
Тогда АД=11-х
АН=АВ*cos(60º)=0,5x⇒
НД=11-х-0,5x=11-1,5x
Выразим квадрат высоты ВН² из треугольника ВНД
ВН²=ВД²-НД²
ВН²=49-121+33х-2,25х²
ВН=АВ*sin(60º)=x√3):2=0,5x√3
ВН²=(0,5x√3)²=0,75х²
Приравняем значения квадрата высоты. 
0,75х²=-2,25х²+33х-72
3х² - 33х+72=0 сократим для удобства на 3
х²-11х+24=0
Решив квадратное уравнение,  получим два корня 
х₁=8
х₂=3
Это длины сторон параллелограмма. АВ=8, АД=3 
Проверка:
Р=2(8+3)=22

"что через медиану АМ и центр вписанной в АВС круга можно провести по крайней мере две разные плоскости".
Что это значит? Через прямую и точку , НЕ лежащую на этой прямой можно провести ЕДИНСТВЕННУЮ плоскость.
А если можно провести более одной плоскости, значит, точка лежит на этой прямой.
Значит, Если центр вписанной окружности лежит на медиане, то она является и биссектрисой.А если она медиана и биссектриса (заодно и высота получается), тогда треугольник равнобедренный, т.е. АС=АВ=17
ну и площадь находим по Герону, либо находим высоту по Пифагору, как вам угодно.
S=120

Пусть в треугольнике ABCравны углы A и C. Обозначим через M середину AC. Восстановим перпендикуляр p к отрезку AC в точке M. Если точка B лежит на этом перпендикуляре, то мы получаем, что равенство треугольников AMB и CMB по первому признаку (AM=MC, сторона MB — общая, ∠AMB=∠CMB=90°), а вместе с этим равенством мы имеем AB=BC. Пусть теперь точка B не лежит на перпендикуляре p. Тогда, без ограничения общности, мы можем считать, что p пересекает сторону AB в точке D.  Аналогично получаем равенство треугольников AMD и CMD. Поэтому ∠A=∠DCA=∠C(последнее равенство следует из условия). Но ∠DCA<∠C, поскольку точка D лежит внутри отрезка AB. Мы получили противоречие. Значит, точка Bлежит на перпендикуляре p и AB=BC.