Угол между высотами параллелограмма, проведенными с вершины тупого угла, равен 30 градусов. найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 6 см и 16 см.

В четырехугольнике НВРD угол D=150°, так как сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.
Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180° (свойство). Следовательно,
<A=<C=180°-150°=30°.
Тогда  в прямоугольных треугольниках АВН и РВС стороны параллелограмма АВ и ВС - гипотенузы этих треугольников, а высоты ВН и ВР - катеты, лежащие против углов 30°.
Тогда стороны АВ и ВС равны 12см и 32см соответственно.
Противоположные стороны параллелограмма равны.
AD=ВС=32cм, DC=АВ=12см.
Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Sabcd=32*6=192cм²  или
Sabcd=12*16=192cм² .
ответ: S=192см² .

Тетраэдр называется правильным, если все его грани - равносторонние
треугольники. Вершина нашего тетраэдра проецируется в центр его основания, значит тангенс угла наклона бокового ребра правильного тетраэдра к плоскости его основания равен отношению высоты тетраэдра к 2/3 высоты основания (так как в правильном треугольнике - основании высота является и медианой, то расстояние от вершины до центра основания равно 2/3 высоты основания).
Высота основания h=(√3/2)*a, где а - сторона треугольника (ребро нашего тетраэдра).
Расстояние от вершины тетраэдра до центра основания равно
(2/3)*h=(√3/3)*a.
Высота тетраэдра равна по Пифагору H=√(a²-(3/9)*a²)=(√6/3)*a.
Тогда тангенс угла наклона  бокового ребра правильного тетраэдра к плоскости его основания равен
Tgα=H/h=(√6/3)*a/(√3/3)*a=√6/√3=√2.
ответ: Tgα=√2.

Пусть плоскости α и β параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости α. Докажем, что эта прямая перпендикулярна и плоскости β.

В плоскости α проведем две пересекающиеся прямые b и с.

Так как прямая а перпендикулярна плоскости α, то она перпендикулярна каждой из этих прямых.

В плоскости β проведем прямые d║b и е║с.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Значит, а ⊥ d и а ⊥ е.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости, ⇒

а ⊥ β.