Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. найти боковые ребра пирамиды, если высота ее проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Пусть дана пирамида SABCD, где ABCD - ромб
AB=BC=CD=AD=5
AC=8
SO - высота пирамиды
SO=7
AO=OC и BO=OD (по свойству ромба)
значит AO=4
SOA - прямоугольный 
по теореме Пифагора найдем 



рассмотрим  ACD:
по теореме косинусов:




 (см²)
с другой стороны 




BO=OD=3
SOB - прямоугольный 
по теореме Пифагора 


ответ:  см;  см

Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся в точке пересечения пополам.
Рассмотрим треугольник образованный половиной данной диагонали и стороной ромба - прямоугольный.
По т. Пифагора - неизвестный катет - √(5²-4²)=3 см - вторая полудиагональ ромба.
Рассматриваем треугольник образованный большей полудиагональю ромба и высотой - прямоугольный.
По т. Пифагора - гипотенуза - 
√(4²+7²)=√65 - большее боковое ребро пирамиды.
Рассматриваем треугольник образованный меньшей полудиагональю ромба и высотой - прямоугольный.
 По т. Пифагора - гипотенуза - 
√(3²+7²)=√58 - меньшее боковое ребро пирамиды.

Плоскость АВ1С пересекает куб по линиям АВ1 и В1С. Расстояние до этой плоскости от точки С1 (перпендикуляр С1Н к этой плоскости) равно расстоянию до этой плоскости от точки О (перпендикуляр ОР к этой плоскости), так как прямая, на которой лежат точки О и С1 параллельна плоскости АВ1С, поскольку эта прямая параллельна линии АС пересечения куба плоскостью АВ1С. 
Найдем ОР.
По Пифагору отрезок В1D1 = √2 - это диагональ квадрата А1В1С1В1.
Тогда ОВ1= √2/2, так как диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам.
В прямоугольном треугольнике ВВ1О Отрезок ОР является высотой, опущенной из прямого угла О на гипотенузу В1Q и по свойству этой высоты OP=(ОВ1*ОQ)/В1Q.  По Пифагору из треугольника ВВ1Q: В1Q= √(BQ²+ВВ1²)=√(3/2) = √3/√2.
Тогда ОР=(√2/2)*1/(√3/√2) =  (√2/2)*1*(√2/√3) = 2/(2√3) = 1/√3 = √3/3.
ответ: расстояние от С1 до плоскости АВ1С равно √3/3.

Данo: a//b,c-секущая,<1=<2=102 
Найти все углы
Решение:<1 и <3-вертикальные при a//b и с-секущей=> <1=<3=102
<2 и <4 -вертикальные при a//b и с-секущей=><2=<4=102
<1 и <5- смежные при a//b и с-секущей=><1+<5=180 =><5=180-<1=180-102=78
<5 и <6-вертикальные при a//b и с-секущей=><5=<6=78
<6 и <8-сooтветственные при a//b и с-секущей=>пo II свoйству параллельных прямых <6=<8=78
<8 и <7-вертикальные при a//b и с-секущей=><8=<7=78
Oтвет:<3=102,<4=102,<5=78,<6=78<7=78,<8=78