Сумма двох сторін трикутника дорівнює 8 см, а кут між ними - 120 градусів. чому дорівнює радіус кола, вписаного в цей трикутник, якщо його третя сторона дорівнює 7 см?

нехай одна сторона трикутника дорівнює х. тоді друга сторона дорівнює 8 - х згідно з теоремою косинусів

7² = 49 = х² + (8 - х)² - 2 * х * (8 - х) * cos 120° = x² + (8 - x)² + x * (8 - x) =

x² + 64 - 16 * x + x² + 8 * x - x² = x² - 8 * x + 64

тоді  х² - 8 * х + 15 = 0

                х₁ = 3       х₂ = 5

отже сторони трикутника  3, 5 та 7 см, його площа

s = ½ * 3 * 5 * sin 120° = 7,5 * √ 3 / 2 = 15 * √ 3 / 4 см²

радіус вписаного кола

r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * (15 * √ 3 / 4) / (3 + 5 + 7) = √ 3 / 2 см.

Начерти чертеж. пусть большее основания - это ад=в, меньшее - вс=а. опусти высоту вн из точки в. 1) из прямоугольного треугольника авн по теореме пифагора: ан=9 см 2) по свойству равнобоклй трапеции ан=(в - а) /2 =9 3) по формуле длины средней линии (в + а) /2 = 45. из 2 и 3 пунктов получаем систему линейных уравнений в - а = 18 в + а = 90 данная система легко решается сложением и вычитание уравнений. при сложении находишь в = 54 см, при вычитании (из второго уравнения лучше первое вычитать) находишь а = 36 см. ответ: основания трапеции равны 36см и 54см.

обозначим данный отрезок ав, а угол – ком. для построение требуется:

    1)разделить   отрезок ав пополам. для этого равным раствором циркуля ( но больше половины отрезка ав) из его концов, как из центров, чертим полуокружности. прямая ре, проведенная через точки их пересечения, делит ав пополам в точке с пересечения с ним ( и, заодно отметим и запомним,– перпендикулярно ему).   2) аналогично разделить отрезок вс пополам. точка n - середина вс, а отрезок вn равен 1/4 отрезка ав.   3) из вершины о   угла ком проводим окружность с радиусом r=вn.  

  все точки этой окружности удалены от вершины   о угла ком на расстояние, равное ее радиусу, т.е. четверти данного отрезкаокружность  - место точек плоскости, расстояние от которых до центра окружности равно.