Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность. а) докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равно боковой стороне. б) найдите расстояние меду центрами вписанной и описанной окружностей, если основания трапеции равны 3 и 27.

А) в равнобедренной трапеции высота из вершины меньшего основания b делит большее основание a на отрезки (a - b)/2 и (a + b)/2; это очень просто увидеть, если провести высоты из обеих вершин. Второй отрезок (больший) как раз и есть проекция диагонали на основание (меньший отрезок - это проекция боковой стороны на основание). Поскольку в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона c равна полусумме оснований. а) доказано.
б) Легко найти с = (27 + 3)/2 = 15; проекция c на a равна (27 - 3)/2 = 12; откуда высота трапеции 9; (получился египетский треугольник).
Кажется, что тут нужно искать значения радиусов (радиус вписанной окружности уже найден, он равен 9/2) и как-то с ними потом разбираться. Но всё куда проще.
Центры обеих окружностей лежат на прямой n, перпендикулярной основаниям и проходящей через их середины. При этом центр вписанной окружности лежит на средней линии.
Если через середину боковой стороны провести перпендикуляр, то он пересечет прямую n в центре описанной окружности. В силу очевидного подобия тут тоже получается египетский треугольник (его катеты - искомое расстояние и половина средней линии трапеции), и нужное расстояние равно (15/2)*12/9 = 10;

По свойствам углов параллелограма угол ВАД= углу ВСД и равен 30.
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º, значит ВСД+СДА=180, СДА=180-30=150. Теперь находим угол ВДА=150-75(угол ВДС=75, из дано), значит угол ВДА=75
И угол АВД тоже равен 75, так как 180-30-75=75. Значит треугольник АВД и треугольник ВСД равнобедренный с боковыми сторонами АВ и АД, ВСи СД. Сумма длин сторон АВ и АД равна половине периметра, а он равен 40 см., также мы уже знаем, что эти стороны равны, значит АВ=АД=40/2/2=10 см
ответ: все стороны параллелограмма  по 10 см, а углы 30,150,30,150

А) BADC - пирамида
1) Рассмотрим треугольник BAC. В нём M-середина BA и N - середина BC=> MN- средняя линия треугольника BAC(по свойству средней линии) MN || AC, MN=1/2AC
Аналогично, NP||CD и MP||AD => (MNP)||(ADC)(т.к. плоскости параллельны, если две пересек. в них прямых взаимно ||)
ч.т.д
б) Т.к. MN, NP, MP - средние линий соответственных ▲, то MN=1/2AC, NP=1/2CD, MP=1/2AD => ▲MNP подобен ▲ADC
А отношение площадей подобных ▲ равно квадрату коэффициенту подобия.
S1:S2=k^2
S2=S1:k^2
S2=48:2^2=12см^2
ответ:12 см^2