Втреугольнике abc проведены высота bd и биссектриса be. ef - высота треугольника abe. площади треугольников abd и dbc имеют соотношение 18: 7 , а отрезки be: ef=2: 1. доказать, что начальный треугольник равнобедренный и найти отношение между его сторонами.

 Из треугольника
 
Так как
 
Так как биссектриса , то
                     
              
 
Отсюда конечно можно найти соотношение между сторонами  (зная углы , сделать это можно) ,но оно не целостно выражается , и выходит что треугольник не равнобедренный , возможно  где-то ошибка , либо я ошибся 

 Гипотенуза равна 

4+6=10см

По свойству касательных к окружности меньший катет равен меньшему отрезку гипотенузы и неизвестному отрезку касательной у прямого угла

Больший катет равен большему отрезку гипотенузы и неизвестному отрезку касательной у прямоуго угла. Обозначим эти отрезки ( они равны) х.

Составим уравнение нахождения гипотенузы по теореме Пифагора:

 100=(4+х)² +(6+х)²

После преобразований получим квадратное уравнение 

2х²+20х-48=0

Решив уравнение чере дискриминант D=784,

получим два корня. Один из них (-12) отрицательный и не подходит. 

х=2

Имеем 3 стороны треугольника:

катет 4+2=6 см

катет 6+2=8 см

гипотенузу 10 см

Периметр треугольника равен 24 см

Если из одной точки  провести касательные к одной окружности, то отрезки касательных до точек касания будут равны. Поэтому гипотенуза будет 3+10=13/см/,  один из катетов 3+х, другой катет равен 10+х.

По теореме ПИфагора (3+х)²+(10+х)²=13²

9+6х+х²+100+20х+х²=169

2х²+26х-60=0; х²+13х-30=0; По теореме, обратной теореме Виета, корни этого уравнения равны х₁=2;  х₂=-15 - не подходит по смыслу задачи. Значит, один катет равен 2+3=5/см/, а другой 10+2=12см. Площадь треугольника равна половине произведения катетов, т.е.

5*12/2=30/см²/