Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие её с вершинами основания. какую часть площади треугольника составляют каждая из 6-ти частей, на которые эти две прямые разделяют треугольники?

Дано:  ΔABC : AB=BC; BH⊥AC; BO=OH

Найти:  

ΔABC - равнобедренный, высота BH является медианой и биссектрисой

⇒   AH = HC  ⇒   ΔABH = ΔCBH - по двум катетам. Дальше можно рассматривать только одну половинку равнобедренного треугольника.

У треугольников  AOK и BOK  одинаковая высота  OM.  Поэтому их площади будут пропорциональны основаниям  AK и KB. Чтобы найти отношение АК:КВ, достроим треугольник ABH до прямоугольника ALBH. LB=AH;  AL=BH;   LB║AH;  AL║BH

∠AKL=∠OKB - вертикальные углы.

∠LAK=∠OBK - накрест лежащие углы при AL║BH и секущей АВ.  ⇒  

ΔAKL ~ ΔBKO  подобны по двум углам:

ответ: площади двух треугольников при основании равны и составляют 1/4 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при вершине равны и составляют 1/12 часть площади равнобедренного треугольника;

площади двух треугольников при боковых сторонах равны и  составляют 1/6 часть площади равнобедренного треугольника.

1) Координаты векторов находим по формуле:  

X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi  

здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;  

Например, для вектора АВ

X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1  

X = 9-5; Y = 3-(-1); Z = -6-4  

АВ(4;4;-10),     АС(2;11;-18),     АД(0;2;-7).

2) Угол а между векторами АВ и АС равен.

Модули: АВ =√(16 + 16 + 100) = √132 = 2√33.

               АС = √(4 + 121 + 324) = √449  

cos a = (4*2 + 4*11 + (-10)*(-18))/(√132*√449) = (8 + 44 + 180)/(59268) = 232/243,4502 = 0,952967.

а = arc cos 0,952967 = 0,307917 радиан = 17,642339 градуса.

3) Проекция вектора АД на вектор АВ.

Решение:  Пр ba =  (a · b)/|b|.

Найдем скалярное произведение векторов:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = 0 · 4 + 2 · 4 + (-7) · (-10) = 0 + 8 + 70 = 78

Модуль вектора b = АВ определён и равен √132 = 2√33.

Пр ba =  78/(2√33) =  13√33 / 11   ≈ 6.78903.

4) Площадь грани АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

Векторное произведение:  

i j k

4 4 -10

2 11 -18

=  i(4(-18)-11(-10)) - j(4(-18)-2(-10)) + k(4*11-2*4) = 38i + 52j + 36k.

S = (1/2)√√(38² + 52² + 36²) = (1/2)√(1444 + 2704 + 1296) =                            √5444  ≈ 36,89173.

5) Объем пирамиды АВСД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) =  (38; 52; 36), АД(0;2;-7) - определено выше.

(АВ х АС) х АД = |38*0 + 52*2 + 36*(-7)| = 148

S = (1/6)*148 = 24,6667.

Пусть диагональ прямоугольника равна х. Так как диагональ прямоугольника - это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника, а стороны его равны х-8 и х-9 (они меньше диагонали), то по Пифагору

(х-8)² +(х-9)² = х².  Раскроем скобки  =>  х² - 34х +145 = 0.

Решаем квадратное уравнение. х1 = 17+12 = 29 и х2 = 17-12=5. Второе значение не удовлетворяет условию. Значит х = 29.

Тогда стороны прямоугольника равны 20 ед и 21 ед. , а его периметр равен 2*(20+21) = 82 ед.Это ответ.