Срешением! на стороне ав квадрата авсd вне его построен равносторонний треугольник аве. найдите радиус окружности, проходящий через точки с, d, е, если сторона квадрата равна 5.

Надо определить параметры треугольника СДЕ:
СД = 5 (по заданию).

Площадь этого треугольника равна S=(1/2)*5*(5+5*(√3/2)) =(1/2)*5* 9.330127 =  23.32532 кв.ед.
Радиус окружности, проходящей через точки С, Д и Е - это радиус окружности, описанной около треугольника СДЕ.
Он находится по формуле:

-----------------------------------------------

Проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника - это отрезки гипотенузы, на которые ее делит высота, т.к. высота - перпендикуляр к прямой ( гипотенузе), а катеты – наклонные из вершины прямого угла.  

Катет - среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на неё .

В треугольнике на рисунке приложения 

Катет Вс=30 см, а ВН=18 - его проекция на гипотенузу. 

BC²=АВ•НВ

900=АВ•18

АВ=900:18=50 см

Высота, проведенная к гипотенузе, делит прямоугольный треугольник на подобные. Из подобия следует отношение:

АН:АС=АС:АВ

АН=50-18=32

32:АС=АС:50 ⇒  АС²=32•50   

 АС=√1600=40 см

-----------

Если обратить внимание на отношение катета и гипотенузы 3:5 в ∆ ВСН, увидим, что этот треугольник - египетский. Отсюда следует АВ=50 см, (т.к. меньший катет=30). а АС=40 см. Получим длины сторон треугольника, отношение которых  3:4:5.

1)Косинус угла между векторами, зная их координаты вычисляется по формуле:

 

cos α =

Здесь x1,x2, y1, y2 - координаты двух векторов.

Подставив в эту формулу координаты, получим:

 

cos α = (0 * 20 + 60) / √16 * √(20² + (-15)²) = 60 / 4 * √625 = 60 / 4 * 25 = 60/100 = 0.6

 

3)Доказать этот факт несложно. Достаточно соединить эти точки отрезками и доказать, что BA и BC будут перпендикулярными. Тогда мы докажем, что угол между векторами будет равен 90°, то есть они будут перпендикулярными. Теперь найдём каждую из этих сторон.(AB, BC,AC). Это можно сделать, воспользовавшись методом координат, используя извстную формулу, которую я здесь приводить не буду,(вы можете вполне сами найти её в интернете, а сразу проведу вычисления по ней, чтобы не загромождать место.

 

AB = √((2 - 0)² + (3 - 1)²) = √(4 + 4) = √8

BC = √((-1 - 2)² + (6 - 3)²) = √(9 + 9) = √18

AC = √(-1)² + (6 - 1)² = √(1 + 25) = √26

 

Теперь заметим, что (√26)² = (√18)² + (√8)², то есть сумма квадрата одной стороны равна сумме квадратов двух других сторон(это обратная теорема Пифагора), значит данный треугольник является прямоугольным, причём по длине сторон можно заключить, что AC - гипотенуза, тогда AB и BC - катеты, которые взаимно перпендикулярны. Итак. мы доказали, что между данными векторами прямой угол, значит они перпендикулярны между собой, что и требовалось доказать.