Втреугольнике авс точка м - середина стороны bс, а точка т делит сторону ав в отношении 2: 3, считая от точки а. точка к делит сторону вс в отношении 3: 5, считая от в. найдите отношение площадей треугольников мтк и авс.

Находим угол АОВ с учетом того, что АО и

OB - биссектрисы углов А и В (по свойству

центра вписанной окружности):

AOB = 180-(1/2)А-(1/2)B = 180-((V2)(A+B)) =

180-((1/2)(180-60) =

= 180-90+30 = 120°.

Зная 2 стороны и угол, находим сторону AB

треугольника АОВ:

AB =V(6°+102-2*6*10*cos120)

= V36+100-120*(-1/2) = V196 = 14 см.

Зная стороны треугольника АОВ, находим

углы А и В (А = 2*BAO, B =2*АВО) по теореме

Синусов.

sin BAO = sin120*10/14 =

0.866025*10/14 =

0.6185896º.

Угол BAO = arc sin

0.6185896 = 0.6669463 радиан =

38.213211°

Угол А= 2*0.3802512 радиан = 21.786789°.

Угол B = 2*

21.786789=

43.573579º.

Зная углы треугольника ABC и одну сторону

AB = 14 см, находим 2 другие по теореме

Синусов:

BC = 14*sin A/sin C = 14*

0.972069/

0.866025 =

15.71428571 CM.

AC = 14*sin B /sin C = 14*

0.6892855 / 0.866025 =

11.14285714 см.

Находим площадь треугольника АВС по

формуле Герона:

S= V(p(p-a)(p-b)(p-c) =

75.82141 см2.

Здесь р= (а+в+с)/2 =

20.428571 см.

Радиус описанной окружности R = abc / 4S =

8.0829038 CM.

ответ:

медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1. найти середину стороны;

2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.

mediana.png

у треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

все медианы пересекаются в одной точке.

mediana1.png

биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1. построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);

2. найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.

bisektrise.png

у треугольника три угла и три биссектрисы.

все биссектрисы пересекаются в одной точке.

bisektrise1.png

высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1. провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2. из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол   90° ) — это и будет высота.

augstums.png

так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

высоты треугольника пересекаются в одной точке.

augstums1.png

но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются.  

если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.

augstums2.png

если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

augstums3.png

 

обрати внимание!

если из одной и той же вершины провести медиану, биссектрису и высоту, то медиана окажется самым длинным отрезком, а высота — самим коротким отрезком.

visi.png

равнобедренный треугольник

если у треугольника две стороны равны, то такой треугольник называют равнобедренным.

равные стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием.

trijst_vs.png

ab=bc   — боковые стороны ,   ac   — основание.

если у треугольника все три стороны равны, то такой треугольник является равносторонним.

равнобедренный треугольник имеет некоторые свойства, которые не имеют треугольники с разными сторонами.

1. в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

3. в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой.

первое и второе свойство можно доказать, если докажем равенство двух треугольников, которые образуются, когда к углу напротив основания провести биссектрису   bd

объяснение: