Ребро куба равно 4 корней из 3 найти диагональ куба . желательно с чертежом .

Треугольник, лежащий в основании прямоугольный, это очевидно из соотношения его сторон:

Поэтому условие задачи в общем-то невыполнимо; невозможно провести сечение через бОльшую высоту и боковое ребро, поскольку бОльшей высотой является сторона с длиной 12, и проведённая таким образом плоскость будет не сечением, а боковой гранью. Её площадь (ну, так, на всякий случай...) будет:

В треугольнике есть только одна высота, лежащая внутри него, и через которую можно провести сечение, проведённая к стороне с длиной 15 (это наименьшая из трёх высот):

Площадь сечения, проведённая через эту высоту и боковое ребро равна:

А во второй задаче, там в конце непонятно, что там равно 30 см?..

Это просто утверждения о том, что длина стороны треугольника меньше суммы длин остальных сторон.

Наверно, можно придумать какое-то "доказательство", но это чаще всего принимают аксиомой.

Хотя "доказательство" в курсе геометрии также приводится. Отложим на продолжении прямой АС отрезок СD=BC. Треугольник CDB - равнобедренный, поэтому у него равны углы при основании. Очевидно, угол D больше угла ABD (внутри последнего помещается угол, равный углу D). Т.к. против Ольшего угла лежит бОльшая сторона, то AD>AB. А т.к. AD=AC+CB, то неравенство доказано.

Несколько слов о том, почему "доказательство". Дело в том, что в школьной геометрии аккуратно (а иногда и не очень) обходится стороной вопрос о том, что же такое "длина".  Можно говорить о том, что это "сколько раз один отрезочек помещается в другом". Но существуют несоизмеримые отрезки  (т.е. длины этих отрезков не относятся друг к другу как целые числа). Почему в таком случае все-таки длина существует, строго говоря не очень понятно. Поэтому "длину" определяют с набора аксиом, одной из которых обычно выбираю неравенство треугольника.