Дан параллелограмм abcd. через сторону cd проведена плоскость a, не с плоскостью параллелограмма . докажи, что ab параллельно a.

У параллелограмма противоположные стороны равны ипараллельны
АВ=и параллельна СD, но СD принадлежит плоскости "а"значит и АВ
принадлежит плоскости "а"

(5)  (6) . Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е. 720o , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: (6)  (5) – очевидно. (4)  (8) . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние  , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса  . 

(8)  (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис.1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1 , то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние  ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы. 

(8)  (6) . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то  BAC =  BDC , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис.2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом, 

 BDC +  CDA +  ADB =  BAC+ CBA + ACB = 180o.

А) этот вопрос совсем простенький - достаточно доказать, что AM = AS; тогда высота AT треугольника AMS одновременно будет и медианой.
Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника в основании AH, равен стороне, деленной на √3, то есть AH = 4; а высота - в полтора раза больше, то есть AM = 6; 
AS^2 = AH^2 + SH^2 = 4^2 + 2^2*5 = 36; AS = 6 = AM; доказано.
б) тут посложнее, но не на много. Дело в том, что прямые эти взаимно перпендикулярны (AT - высота пирамиды). Поэтому надо найти расстояние от точки T до SB. Из пункта а) следует, что это расстояние в 2 раза меньше, чем от M до SB, то есть половина высоты (к гипотенузе) прямоугольного треугольника MSB c катетом BM = 2√3 и гипотенузой 6;
SM^2 = 6^2 - (2√3)^2 = 24; SM = 2√6;
высота MSB равна (2√3)*(2√6)/6 = 2√2; а нужное расстояние в 2 раза меньше, то есть просто √2;