Срешением. сторона прямоугольника равна 12см и образует с его диагональю угол 30*. найдите его вторую сторону.

Катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы...
вторая сторона --- (х)
диагональ --- (2х)
т.Пифагора: (2х)² = х² + 12²
3х² = 12²
х² = 12² / 3
х = 12 / √3
х = 4√3

Пусть AL -медиана (L-точка пересечения медианы и стороны BC) O-точка пересечения медианы и биссектрисы .Пусть биссектриса бьет угол B на углы равные ф. Тогда тк медиана перпендикулярна биссектрисе, то ΔALB=ΔLAB=90-ф.Тогда треугольник ABL -равнобедренный: AB=BL. Тк BL=LC,то BC=2*AB Больше ничего мы из условия перпендикулярности медианы с биссектрисой для сторон найти не сможем..Тк если было бы задано что BC=2*AB,то перпендикулярность медианы и биссектрисы было бы уже очевидным следствием: тк тогда BL=BC/2=AB,BL=AB откуда сразу же очевидно что: ΔALB=ΔBAL=f ,то из условия суммы углов треугольника: 2f+2ф=180 ,f+ф=90,то BOA=90.А тк зная отношение двух сторон мы ничего не можем сказать о третьей.То все равноправно.И кроме того что BC=2*AB мы ничего не можем определить. Но тогда задача имеет 3 решения: пусть x -самая маленькая из сторон,тогда другие две равны: x+1 и x+2. рассмотрим все случаи: 1)x+1=2*x x=1 2)x+2=2x x=2 3) x+2=2*(x+1) x=0 -этот случай не подойдет.Значит у нас два решения: 1) 1,2,3 Но если посмотреть внимательно ,то исходный случай не удовлетворяет неравенству треугольника 1+2=3 ,что невозможно. 2)2,3,4 P=9 ответ:9

Внешняя точка - C, центр большой окружности - O
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn =  = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 =   12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π