Решите все 73 1. в параллелограмме klmn биссектриса угла lkn пересекает отрезок lm в его середине ∠lnm=90∘ найдите угол lkn. 2. на сторонах bc и cd ромба abcd взяты точки m и n соответственно, отличные от точек a, b, c и d. оказалось, что треугольник amn равносторонний, и при этом ∠abc=∠and. найдите угол bcd. 3. в равнобедренном треугольнике abc с основанием ab проведены биссектрисы ae и cd. известно, что 2⋅cd=ae. найдите угол bac.

1)треугольники alk=amn ( по 3 сторонам ak=an ( в равнобедренном треугольнике),al=am ( а- середина стороны), lm=mn ( противоположные стороны в параллелограмме это значит, что углы kla=nma, но в  параллелограмме противоположные углы также равны, значит  kla=nma=lkn=mnk. в параллелограмме сумма углов равна 360 градусов. из этого следует, что 360/4=90.

значит  kla=nma=lkn=mnk=90 градусам, значит наш  параллелограмм - прямоугольник.

2)

так как ромб - это симметричная фигура

следует, что относительно диагоналей ac и вd происходит симметрия =>

∆ abc = ∆ авсd

из первого пункта было сказано, что epkt является прямоугольником

значит, прямоугольник epkt симметрично накладывается на четырёхугольник meth, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. а значит, весь четырехугольник мрkh является прямоугольником.

для точности докажем, что точки р и м, к и н симметричны относительно диагонали ас

∆ аре = ∆ аем - по катету и острому углу ( угол вас = угол саd - по свойству ромба ; ае - общая сторона )

значит, ав=сд

По всем   известной формуле , объём пирамиды   vп = 1/3 * sосн * hп sосн - площадь основания hп - высота пирамиды основание состоит из 6 равносторонних треугольников, узнав сторону одного из них мы по формуле герона или по не менее известной формуле  по двум сторонам и углу между ними,умножив на 6, узнаем площадь основания. расмотрим треугольник bko - прямоугольный(тк ko - высота пирамиды) по формуле пифагора   если считать площадь треуг мов  по двум сторонам и углу между ними и ну и

δ авс - равнобедренный

вк = 30 см - биссектриса к основанию ас, она же и медиана δ авс  ⇒ ак=кс

nm = 16 см  - средняя линия ii ас  ⇒an=nb

nk = ? - средняя линия ii вс 

 

nm x вк в т.о и деляться ей пополам, т.к. δ nmb подобен  δ авс по 3-м углам,  ⇒ δ nmb равнобедренный и во его высота, биссектриса и медиана. 

во=вк т.к. nm средняя линия  δ авс

получаем

no=1/2nm= 16/2=8

ok=1/2вк= 30/2=15

δ nok прямоугольный, т.к. уже доказано, что bo высота δ nmb  ⇒  < bon = 90°

< nok - смежный и =180°-< bon = 90°

по теореме пифагора находим nk - гипотенузу δ  nok 

nk=√(no²+ok²) =  √(8²+15²)=√(64+225)=√289=17 см