30 ! в правильный треугольник площадью 36√3 дм² вписан круг. найти площадь правильного шестиугольника, вписанного в этот круг.

построим высоту правильного треугольника bh, в который вписана окружность

ah = ac/2 (высота в правильном треугольнике является его медианой, т. е. делит сторону на две равные части)

рассмотрим δabh - прямоугольный

ah = ac/2 = ab/2 (в правильном треугольнике все стороны равны)

по теореме пифагора выразим катет bh

площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

найдем радиус описанной окружности около правильного треугольника, чтобы далее найти радиус вписанной. для этого используем формулу:

a₃ = r√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, r - радиус описанной окружности

подставляем

12 = r√3

найдем радиус вписанной окружности, используя формулу

где r - радиус вписанной окружности в правильный n-угольник, r - радиус описанной окружности около правильного n-угольника, n - число углов правильного треугольника (у нас правильный треугольник)

подставляем

радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, является радиусом описанной окружности около правильного шестиугольника (r₂)

формула для стороны правильного шестиугольника через радиус описанной около него окружности:

a₆ = r, где a₆ - сторона правильного шестиугольника, r - радиус описанной около него окружности

подставив, получаем

a₆ = 2√3 дм

найдем периметр правильного шестиугольника:

p = 2√3 * 6 = 12√3 дм

найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник по той же формуле через радиус описанной окружности

существует формула для нахождения площади правильного n-угольника:

где s - его площадь, p - его периметр, r - радиус вписанной в него окружности

подставляем

ответ: s = 18√3 дм²

более компактное решение.

для этого воспользуемся парой формул

s правильного треугольника= 3√3*r²

где r- радиус вписаной окружности

из формулы найдем радиус

3√3*r²=36√3

r²=12

теперь зная, что сторона вписанного в окружность правильного шестиугольника равна радиусу данной окружности, вспомним еще одну формулу

s правильного шестиугольника = (3√3*a²)/2 , где a²=r²

найдем площадь шестиугольника

s=(3√3*12)/2=3*6*√3=18√3

1)   да, так как угловые коэффициенты равны к=-2

2) прямые, параллельные оси   оу имеют уравнение х=а, где а- число на оси ох, через которое пройдет прямая.значит, ур-ие   х=-2 

3) решить надо систему ур-ий   2у=-х-5

                                                            у=3х-8

умножим второе ур-ие на -2 и сложим:   0=-7х+11., х=11/7

тогда у=3*11/7-8=-23/7

точка (11/7; -23/7 )   

а - сторона ромба  периметр  р = 4а = 52  а = 52/4 = 13 см  диагонали ромбы d1 и d2 перпендикулярны =>   d1 / d2 = 5 / 12 или d1 = 5d2 / 12  cтороны прямоугольных треугольников, образуемых диагоналями,будут ^  d1/2, d2/2 -катеты  а - -гипотенуза (она же сторона ромба)  по теореме пифагора  (d1/2)^2 + (d2/2)^2 = a^2  d1^2 + d2^2 = 4a^2  (5d2 /12)^2 + d2^2 = 13^2  25d2^2 + 144d2^2 = 13^2 * 12^2  169d2^2 = (13^2*12^2  13^2 d2^2 = 13^2 * 12^2  d2^2 = 12^2  d2 = 12 см - вторая диагональ  d1 = 5d2 / 12 = 5 * 12 / 12 = 5 - первая диагональ  ответ: диагонали d1=5 cм, d2 = 12 см