Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см один из катетов равен 12см. найдите проекцию другого катета на гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.

Ну по теореме пифагора можно найти другой катет, AB=корень из 20^2-12^2=корень из (400-144)=корень из 256=16. Далее по двум катетам мы можем найти площадь треугольника: ведь 1 из катеетов как бы будет являться высотой, значит Sabc=1/2*AB*AC=1/2*12*16=96. Площадь треугольника ABC можно также выразить как Sabc=AH*BC*1/2,значит AH=96:1/2*BC=96*2:20=9,6.
ответ: другой катет равен 16см; высота равна 9,6см.

Если все углы многоугольника равны между собой, значит это правильный многоугольник. В правильном 10-угольнике радиусы описанной окружности, проведенные в его вершины, делят его на 10 равнобедренных (боковые стороны - радиусы) треугольников с углом при вершине (центре окружности) равным 360°:10=36°. Тогда сумма углов при основании такого треугольника = 180°-36°=144°. Эта сумма равна углу 10-угольника, так как радиус, проведенный к вершине правильного многоугольника является биссектрисой его угла.
ответ: внутренний угол 10 угольника равен 144°.

Проверка: есть формула для угла n-угольника: 180°(n-2)/n.
В нашем случае 180°*8/10=144°

Так как площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, то необходимо найти их: 
Малую диагональ возьмём за Х 
Большую диагональ за X+4 (из усл-я задачи) 
Рассмотрим один из четырёх равных прямоугольных треугольников ромба: 
-малый катет равен Х/2 
-большой катет равен (Х+4)/2 
-гипотенуза равна 10 см т.к периметр ромба = 40 см, а у ромба все стороны равны 40/4=10 
По теореме Пифагора (сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы) составим уравнение, и найдём Х: 
(Х/2)^2+((X+4)/2)^2=10^2 
Х^2/4+(X^2+8Х+16)/4=100 
(Х^2+Х^2+8Х+16)/4=100 
Х^2+Х^2+8Х+16=400 
2Х^2+8Х+16=400 (разделим на 2) 
X^2+4X+8=200 (перенесём 200 в левую сторону) 
Х^2+4Х-192=0 (решаем получившееся квадратное уравнение) 
D=4^2+4*1*192=784=28^2 (нашли дискриминант) 
X1=(-4+28)/2=12, X2=(-4-28)/2=-16 (нашли корни квадратного уравнения) 
Так как отрицательное число не может быть длиной диагонали, то берём положительный корень ур-я 12 
Получаем: 
Малая диагональ равна X=12 
Большая диагональ равна X+4=12+4=16 
Площадь ромба равна (12см*16см)/2=96см^2 
ответ: 96см^2