Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см вращается вокруг средней стороны.найти поверхность тела

Треугольник со сторонами 13,14 и 15 см вращается вокруг средней стороны.Найти поверхность тела. 
Тело вращения будет походить на детскую игрушку юла.  
Т.е. верхняя  и нижняя части - два конуса с  общим основанием АА₁ и радиусом, равным высоте АО  данного треугольника, проведенным к средней по величине стороне, равной 14 см.
 Чтобы найти эту высоту, нужно найти по формуле Герона площадь треугольника. Вычисления приводить не буду - треугольник с такими сторонами  встречается в задачах часто, его площадь  легко запоминается и равна 84 см² 
S=a*h:2, где а - сторона, h- высота к ней. 
2S=a*h 
 h=2S:а 
h=168:14=12 см - это радиус окружности - общего основания конусов.
Рассмотрим рисунок. 
Площадь тела равна сумме площадей боковых поверхностей конуса АВА₁ и конуса АСА₁ 
S =πrl 
S₁=π*12*13 
S₂=π*12*15 
S общ=12π(13+15)=336 π 
при π=3,14 
S=1055,04см² 
при π полном ( на калькуляторе) 
S=1055,575 см² 

ΔАВН: ∠Н = 90°, по теореме Пифагора
             АВ = √(АН² + ВН²) = √(100 + 100) = √200 = 10√2 см

ΔСВН: ∠Н = 90°, по теореме Пифагора
             ВС = √(ВН² + НС²) = √(100 + 16) = √116 = 2√29 см

ΔАВС: по теореме косинусов:
             АВ² = ВС² + АС² - 2·ВС·АС·cos∠C
             cos∠C = (BC² + AC² - AB²) / (2·BC·AC)
             cos∠C = (116 + 196 - 200) / (2 · 2√29 · 14)
             cos∠C = 112 / (56√29) = 2/√29

ΔAMC: MC = AC/2 = √29 см, по теореме косинусов
             АМ² = AC² + MC² - 2·AC·MC·cos∠C
             AM² = 196 + 29 - 2 · 14 · √29 · 2/√29
             AM² = 225 - 56 = 169
             AM = 13 см

Нарисуем  треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее СН.

У высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства. 

Одно из них:

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком ВН гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Катет СВ=9

Отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2х и 3х (2х:3х=2:3), причем 3х ближе к вершине В ( проекция стороны СВ)

А всего в гипотенузе таких отрезков 5х.

СВ²=ВН·ВА

81=3х·5х

5х²=81

х=0,6√15

ВН=3·0,6√15=1,8√15

НА=2·0,6√15=1,2√15

2)Отношение отрезков гипотенузы,  на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов. 

9:АС=1,8√15:1,2√15

9:АС=1,5

АС=6 

S АВС=9·6:2=27 ( ?)²