На боковых ребрах аа1, вв1 и сс1 правильной треугольной призмы авса1в1с1 (аа1 || вв1 || сс1) расположены точки к, l, и м соответственно. известно, что угол между прямыми kl и ав равен pi/4 , а угол между прямыми км и ас - pi/3 . а) постройте плоскость, проходящую через точки k, l и м б) найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания авс

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов 

Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.

КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:

АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S =
1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25
 haе              hде                 hад
 0.5          0.57506            0.86603 

       КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S =
1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492
       hке                hде                     hкд
0.7092           1.15356              0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913.
ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°. 

 1.

В параллелограмме противоположные стороны равны.

Пусть меньшая сторона равна x, тогда противоположная равна x, а смежные с ней равны x+7см. Периметр 54см, поэтому

2·(x + x+7см) = 54см = 4x+14см

4x = 54-14 = 40см

x = 40:4 = 10см - длина каждой из двух меньших сторон.

x+7см = 10+7 = 17см - длина двух других сторон.

ответ: 10см, 17см, 10см и 17см.

 2.

В прямоугольнике противоположные стороны равны (BC=AD), диагонали тоже равны (AC=DB), а точкой пересечения делятся пополам.

AO = AC:2 = 24:2 = 12см

DO = DB:2 = AC:2 = 12см

AD = BC = 16см

AO+DO+AD = 12+12+16 = 40см

ответ: 40см.

 3.

Противоположны углы в ромбе равны, смежные углы дают в сумме 180°, а диагонали служат биссектрисами углов.

Сторона образует с диагональю угол в 18°, это же диагональ проходит через углы в 18°·2=36° т.к. она делит их пополам.

Остальные два углы равны между собой и вместе с углом в 36° дают 180°. То есть они равны 180°-36° = 144°.

ответ: 144°, 36°, 144° и 36°.

 4.

ΔAEB = ΔCFD по двум сторонам и углу между ними (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма; ∠BAE=∠DCF как накрест лежащие; AE=CF по условию).

BE = DF, как стороны лежащие напротив равных углов (∠BAE=∠DCF), в равных треугольниках. Доказано.

1.

Пусть одна из сторон параллелограмма х см, тогда другая х+5 см.

Сумма двух смежных сторон (полупериметр) параллелограмма р=66:2=33 см. Составим уравнение:

х+х+5=33;  2х=28;  х=14.

Одна сторона 14 см, смежная  сторона 14+5=19 см.

ответ: 14 см, 14 см, 19 см, 19 см.

2.

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам.

АО=ВО=1/2 АС = 20:2= 10 см

Р(АОВ)=АВ+ОВ+АО=15+10+10=35 см.

3.

Противоположные углы ромба равны. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный, т.к. АВ=ВС как стороны ромба.

∠ВСА=∠ВАС=68°.

∠В = ∠D = 180-68*2=44°

∠А=∠С=68*2=136°