Решить ! 24 ! найдите объем прямой призмы abca1 b1 c1, если: угол acb=30 градусов, bc=7 см, ac=4 см и наибольшая из площадей боковых граней 28 см (в квадрате)

По теореме косинусов
АВ²=7²+4²-2·7·4·cos 30°=49+16-28√3    ⇒    AB < 7
Наибольшая из площадей боковых граней - грань ВСС₁В₁
Значит ВВ₁=СС₁= 28 см²: 7 см = 4 см
Н ( призмы) = ВВ₁ = 4 см
V=S(основания)· H= 1/2· 4·7· sin 30°· 4=112 куб см

Прямая касается двух окружностей, точки касания удалены от центров на радиусы. Так как радиусы равны, точки касания равноудалены от центров и лежат на прямой, параллельной линии центров.  

Окружности касаются внешним образом, точка касания лежит на линии центров, расстояние между центрами равно двум радиусам. Радиус, поведенный в точку касания, перпендикулярен касательной и образует прямоугольный треугольник, в котором линия центров - гипотенуза. Катет равен половине гипотенузы, значит он лежит против угла 30.  

Искомый угол является накрест лежащим при параллельных и равен 30.

P(DKBP)=20 см, S(DKBP)=20 см²

Объяснение:

В условии пропущена: ВС= 4 см! Решение предлагается этим дополнением и исправлением DKPB на DKBP:

AK = AB•3:8=8 см•3:8 = 3 см. Но, CD= AB = 8 см, поэтому СP = CD•3:8=8 см•3:8 = 3 см. Тогда KB=PD=CD–СP=8 см–3 см=5 см.

ABCD-прямоугольник, поэтому ∠A=∠C=90°. И поэтому для равных (по двум катетам) прямоугольных треугольников ΔDAK и ΔPCB применим теорему Пифагора:

BP²=DK²= AD²+AK² = (4 см)² + (3 см)² = 16 см² + 9 см² = 25 см² = (5 см)²

или DK= BP = 5 см.

Теперь можем определить периметр фигуры DKBP

P(DKBP)=DK+KB+BP+PD=5 см+5 см+5 см+5 см=20 см.

Находим площадь прямоугольника ABCD:  

S(ABCD) = AB • ВС= 8 см • 4 см = 32 см².  

Находим площадь треугольника ΔDAK:  

S(ΔDAK) = AK• AD/2=3 см • 4 см/2= 6 см².

Тогда  

S(DKBP)= S(ABCD)–2• S(ΔDAK) = 32 см² – 2•6 см²= 20 см².