Только ответ! за 40 из точки m, лежащей внутри треугольник abc, проведены перпендикуляры md, me, mf на стороны bc, ac, ab соответственно. найдите отношение площади треугольника abc к площади треугольника def, если известно, что bc=a, ac=b и ab=c, md=k, mf=m. в случае, если ответ будет нецелым числом, округлите его до ближайшего целого. a=5, b=4, c=6, k=2, m=1.

Это - совершенно тупая задача, но требующая больших усилий. Этакая задачка для "танков". Тут такие задачи редко встречаются, поэтому я решил выложить решение. С точки зрения математической изюминки задача совершенно пустая.
1) пусть S - площадь ABC, S1 - площадь DEF.
2) поскольку у треугольника ABC заданы все три стороны, то его площадь фактически тоже задана - она просто считается по формуле Герона. Чтобы потом не тратить место, я её сразу рассчитаю для треугольника со сторонами 5,4,6.
p = (5 + 4 + 6)/2 = 15/2; p  - 5 = 5/2; p - 4 = 7/2; p - 6 = 3/2;
S^2 = 15*5*7*3/2^4; S = 15√7/4;
3) Из трех отрезков, выходящих из точки M, заданы два. Третий ME = n легко рассчитывается, если заметить, что
S = mc/2 + ka/2 + nc/2;
n = (2S - mc - ka)/b;
Для заданных в условии числовых значений n = 15√7/8 - 4; это приблизительно 0,960783708246107;
4) теперь надо приложить первое и последнее в этой задаче мозговое усилие.
Четырехугольник AFME имеет два прямых угла, поэтому сумма двух других углов ∠FAE + ∠FME = 180°;
это означает, что sin(∠FAE) = sin(∠FME) = sin(A); где A - угол треугольника ABC. Площадь треугольника FME равна mn*sin(∠FME)/2 = mn*sin(A)/2;
С другой стороны, S = bc*sin(A)/2; поэтому площадь треугольника FME находится так
Sfme = S*mn/bc;
точно так же находятся площади треугольников FMD и DME, если результаты сложить, то очевидно получается
S1/S = mn/bc + mk/ac + kn/ab;
5) нужно найти S/S1, округленную до ближайшего целого. Для этого полезно уметь пользоваться Excel :).
Для S1/S получается приближенно 0,202777692001532; обратная величина 4,93150893537365;
то есть в ответе должно стоять 5;
Поскольку n очень близко к 1, этот ответ легко получить и простыми арифметическими подсчетами.

a и b неколлинеарны, так как 3/(-1)≠-2/-1≠-4/7

тогда если a,b,d лежат в одной плоскости , то

d=ax+by-найдутся такие коэффициенты разложения х  и уБ запишу систему тогда по каждой координате

5=3x-y; -4=-2x-2y; -1=-4x+7y

если есть решение системы. удовлетворяющее одновременно этим 3  равенствам, то d раскладывается по а и b и все три они лежат в одной плоскости...

из второго x+y=2; x=2-y; подставлю в первое 5=3(2-y)-y=6-4y; 4y=6-5=1; y=1/4; тогда x=2-y=2-1/4=1.75

(1.75;0.25)-решение из первых двух уравнений системы, подставлю в третье уравнение

-1=-4*1.75+7*0.25

-1=-7+1.75; -1=-5.25-неверно, значит a,b,d-не лежат в одной плоскости

Правило треугольника размножаем на 6 (и сколь угодно) векторов: начало следующего из конца предыдущего, по окончании замкнуть из начала первого в конец последнего (в этой задаче 6го). Это и будет суммарный вектор.
Если упорядочить вектора по углу поворота (уменьшения или увеличения), получится картинка многоугольника (здесь 7 угольника), треугольник -частный случай
Аналогично правило параллелограмма:
начала всех векторов приводим в одну точку, а дальше попарно суммируем:
диагональ предыдущей пары берем как сторону нового пар-ма и суммируем со следующим вектором. Варианты: просуммировать попарно 3 пары, затем полученные диагонали между собой