Высоты параллелограмма, периметр которого 60 см, относится как 2: 3. найдите большую сторону параллелограмма

пусть меньшая сторона параллелогамма равна а, высота, проведенная к этой стороне равна , а острый угол между сторонами параллелограмма равен  . большая сторона параллелограмма пусть равна b, высота, проведенная к этой стороне равна . по условию   .

  то есть . если вычислить площадь параллелограмма, то по одной из формул будет

или . попробуем вычислить площадь параллелограмма через другую сторону и высоту

. или .

приравняем два полученных выражения площади

.

получается, что

так как по условию периметр параллелограмма равен 60 см, то

используя что , получаем

а=12. тогда b=1,5*a, b=18 см.

 

значит большая сторона параллелограмма равна 18 см.

нарисуем параллелограмм и обозначим его вершины как авсд.

проведем высоты вн из в к ад, и во из в к сд.

высоты образовали со сторонами параллелограмма два треугольника. они прямоугольные и подобны, т.к. острые углы при а и с в них равны. все элементы подобных треугольников имеют равный коэффициент подобия. следовательно, гипотенузы ав и вс образовавшихся треугольников авн и всо относятся как 2: 3обозначим коэффициент этого отношения х.тогда ав: вс=2х: 3хав+вс=5хав+вс=60: 2=30 cм5х=30 cмх=6 смав=2*6=12 смвс=3*6=18 смбольшая сторона параллелограмма равна 18 смзаписать решение кратко труда не составит.

Дано:                                       решение: abcd-трапеция                   s= 1/2 (a+b) *h                                         a=bc=5, h=ab=4     bc=5                                   b=ad=9 ad=9                                 s= 1/2(5+9)*4= 1/2*14*4=28 см^2 ab= 4 найти :                                   ответ: 28 см^2 s-?                                  

Поскольку даны координаты только 2-х вершин, имеет два решения, так как квадрат может быть построен симметрично относительно стороны ав.. найдем длину стороны квадрата. длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.значит длина стороны квадрата равна √[(хb-xa)²+(yb-ya)²] =√29. мы знаем, что диагонали квадрата равны произведению его стороны на √2, то есть = √58 и в точке деления делится пополам. итак, мы имеем два уравнения: (1)√[(хd-xa)²+(yd-ya)²] =√29 - для длины |ав| квадрата и (2)√[(хd+xb)²+(yd+yb)²] =√58 для длины |вd|его диагонали. решим систему из двух уравнений и найдем координаты вершины d(xd; yd). (1) √[(хd-xa)²+(yd-ya)²] =√29 или (хd+2)²+(yd-1)²=29 или хd²+4хd+yd²-2yd=24. (2) √[(хd-xb)²+(yd+yb)²] =√58 или (хd-3)²+(yd-3)²=58 или хd²-6хd+yd²-6yd=40. из (1) вычтем (2): 10xd+4yd=-16. yd=-(5xd+8)/2. подставляем это значение в (1): 4хd²+16xd+25xd²+80xd+64+20xd+32=96 или 29хd²+116xd=0 или хd²+4xd=0. отсюда xd1=0 и xd2=-4. соответственно yd1=-4, а yd2=6. итак, мы получили координаты вершины d: d1(0; -4) и d2(-4; 6). мы помним, что диагонали квадрата делятся в точке пересечения пополам. найдем координаты середины диагонали bd. координаты этой точки равны половине суммы координат начала и конца отрезка (вектора) bd: (0+3)/2=1,5 и (-4+3)/2= -0,5. итак, имеем точку пересечения диагоналей: о1(1,5; -0,5) и аналогично о2(-0,5; 4,5). зная эти координаты, найдем координаты точки с (так как нам известны координаты начала и середины отрезка ас. (хс+xa)/2=xo и (yc+ya)/2=yo. отсюда имеем: хс1=5 и yc1=-2. xc2=1, yc2=8. ответ: координаты вершин квадрата: с1(5; -2), d1(0; -4) и c2(1; 8),d2(-4; 6).