Даны две окружности, радиуса 16 и 19, которые касаются в точке а. к окружностям проведена общая касательная, которая касается окружностей в точках в и с , проведена общая касательная которая проходит через точку а и пересекает касательную вс в точке к. найти отрезок ак.

∠AВC = 60°.

Объяснение:

Пусть в равнобедренном треугольнике АRP (АR = RP) угол  ∠А = α.  =>  ∠RPA = ∠ARP = α.  

Внешний угол этого треугольника ∠PRS равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, углов: ∠PRS = 2α.

В равнобедренном треугольнике RPS (RP = PS)  

∠PSR = ∠PRS = 2α. ∠RPS = 180° - 4α (по сумме внутренних углов треугольника).

Углы APR, RPS и SPQ составляют развернутый угол и значит APR + RPS + SPQ = 180°.

∠SPQ = 180° - (180° - 4α) - α = 3α.

В равнобедренном треугольнике PSQ (PS = SQ)  углы при основании равны  =>  ∠PQS = ∠SPQ = 3α.  

Угол PSQ = 180° - 6α (по сумме внутренних углов треугольника).

Углы PSR, PSQ и QSC составляют развернутый угол и значит

∠QSC = 180° - 2α - (180° - 6α) = 4α.

В равнобедренном треугольнике SQC (QC = SQ)  углы при основании равны  => ∠QCS = ∠QSC = 4α.  Тогда ∠SQC = 180° - 8α.

Углы PQS, SQC и CQB составляют развернутый угол и значит

∠CQB = 180° - 3α - (180° - 8α) = 5α.

В равнобедренном треугольнике QCB (QC = CB)  углы при основании равны  =>  ∠QBC = 5α.

Тогда в четырехугольнике SQBC ∠SQB = ∠SQC + ∠CQB или

∠SQB  = 180° - 8α + 5α = 180° - 3α.

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

Тогда ∠QSC+∠SQB+∠QBC+∠SCB  = 360°. Или

4α +180° - 3α +5α+108°  = 360°. =>  6α = 72°  => α = 12°.

∠AВC = ∠QBC  = 5α  =  60°.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. т.е. можно сразу и найти искомую высоту.

СD=√(9*4)=3*2=6/см Можно идти дедовскими т.е. катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Т.е. АС²=АВ*АD⇒АС²=13*9=

117 и тогда по теореме Пифагора СD=√(117-9²)=√(117-81)=√36=6/см или с другой стороны, найдя аналогично нахождению АС², найдем СВ²=13*4=52, и опять по Пифагора СD=√(52-4²)=√(52-16)=√36=6/см/

Можно было и еще найти море Но думаю, и этих хватит.

ответ 6 см