Площадь прямоугльного треугольника равна 242v3/3 одна из острых углов равна угол a=30°.найдите длину катета, прилежащего к этому углу

Обозначим катет противолежащий углу 30 градусов за х
тогда гипотенуза треугольника будет 2х
тогда прилежащий катет=v((2x^2)-x^2)=v(4x^2-x^2)=v(3x)^2=xv3
запишем площадь через катеты
xv3*x/2=242v3/3
x^2v3/2=242v3/3
x^2=242v3/3*2/v3=484/3
x=v(484/3)=22/v3
прилежащий катет=(22/v3)*v3=22

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника. 

Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º

Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М. 

Пусть АК=х, ВН=у. 

Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у

АВ=х+у

АС=х+3, ВС=у+3

Формула радиуса вписанной окружности

r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр

р=х+у+3

3=84:(х+у+3)

х+у+3=28⇒

х+у=25

у=25-х

АВ=х+у=25 дм

АС=х+3

ВС=25-х+3=28-х

По т.Пифагора

(х+3)²+(28-х)²=625

Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение

х²-25х+84=0

D=25²-4·84=289

Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4

АС=21+3=24 дм

ВС=28-21=7 дм

Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25

1) Треугольник образованный восотой, радиусом и образующей будет прямоугольный и равнобедренный  гипотенузой которого является образующая по т. Пифагора r²+r²=6,5²

2r²=42,25

r²=21,125

r≈4,6

S=πrl

S=π*4,6*6,5=29,9π≈93,9

 

2) воспользуемся формулой площади треугольника через синус  S=1/2*a*b* sinC

a) S=1/2*2r*2r*sin 30°=1/2*2r*2r*0,5=r²

б) S=1/2*2r*2r*sin 45°=1/2*2r*2r*(√2/2)=r²√2

в) S=1/2*2r*2r*sin 60°=1/2*2r*2r*(√3/2)=r²√3

 

3) Sосн=πr²=8

r²=8/π

r=(2√2)/√π

 так как сечение треугольник то его площадь вычисляется по формуле S=1/2*a*h

в нашем случае a это диаметр, т.е. 2r h высота конуса

1/2*(2√2)/√π*h=6

h=6*√(π/2)