Дано: k, l, m, n- серидины сторон параллелограмма abcd; ac=10cm, bd=6cm.найти: pklmn

kn и lm - средние линии для треугольников abд u bcд

они равны половине вд/2 = 6/2 = 3 см - каждая

отрезки kl и mn - средние линии равных треугольников авс и асд

так же равны половине ас/2 = 10/2 = 5 см

р (klmn) = 3 + 3 + 5 + 5 = 16 см

mn - средняя линия трапеции. средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

отрезки касательных из одной точки равны, △bac - равнобедренный. параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. средняя линия mn параллельна основаниям, основания параллельны bc, mn||bc => △man~△bac, △man - равнобедренный. центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠bdo=90, bd=bc/2=a/2, mo=mn/2.

радиус перпендикулярен касательной, ∠obm=90.

накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠mob=∠obd.

△mob~△obd (по двум углам)

mo/ob=ob/bd < => (mn/2)/r=r/(a/2) < => mn=4r^2/a

в трапецию вписана окружность, h=2r.

s=mn*h =4r^2/a *2r =8r^3/a

авсд - параллелограмм  

из точки в проведено 2 перпендикуляра на стороны ад и сд  

назовем их вк и вм соответственно  

вк = 6  

вм = 10  

сд = ав (как стороны параллелограмма)  

р = 2ав + 2ад = 48  

ав + ад = 24  

  диагональ вд делит параллелограм на равные по площади треугольники с высотами вк и вм  

площадь авд = 1/2 * ад * вк = 3 ад  

площадь двс = 1/2 * дс * вм = 5 дс = 5 ав  

сложим систему:   3 ад = 5 ав     ав + ад = 24     ав = 24 - ад     3 ад = 5(24 - ад)     3 ад = 120 - 5 ад     8 ад = 120     ад = 15     ав = 24 - 15 = 9     разность между смежными сторонами параллелограмма равна 15 - 9 = 6