Периметр паралелограма 40 м. Бісектриса гострого кута паралелограма ділить діагональ на відрізки відношення яких 2:3. знайдіть сторони паралелограма.

P=80;

P=2·(a+b);

параллелограмм ABCD;AK-биссектриса;

ΔАBK-равнобедренный (острые углы равны)⇒AB=BK;

AB=CD=3x;

BC=AD=3x+4x=7x;

P=2·(3x+7x)=20x;⇒

20·x=80;⇒x=80/20=4(см);

AB=CD=3·4=12(см);

BC=AD=7·4=28(см)

Треугольник со сторонами 7,15,20 можно получить следующим образом. Берется "египетский" треугольник (то есть прямоугольный треугольник, подобный треугольнику со сторонами 3,4,5) со сторонами 12, 16, 20, на катете 16 от вершины прямого угла откладывается 9 и соединяется со вторым концом катета 12. При этом из треугольника 12,16,20 вырезается треугольник со сторонами 9, 12, 15 - тоже "египетский". 

Таким образом, у треугольника 7,15,20 высота к стороне 7 равна 12. Площадь поверхности фигуры вращения равна сумме боковых площадей двух конусов, у которых радиус основания равен 12, высоты - 16 и 9, а образующие 20 и 15 соответственно.

2π*12*20 + 2π*12*15 = 2π*12*35 = 840π;

 

Примечание (касается всех!) Подобное решение, не смотря на то, что является строгим и верным, не будет принято и засчитано. Предложенное решение этой элементарной задачи очень полезно для понимания геометрии, и очень вам разобраться в сути вопроса, поскольку позволяет устно получить ответ, но "для учителя" необходимо (в соответствии с требованиями общеобразовательной системы) "обосновать" решение с стандартных методов. 

В данном случае вы обязаны найти высоту треугольника к стороне 7, используя материал, данный вам на уроках. Наример, можно сосчитать площадь трегольника по формуле Герона, удвоить и разделить на 7. Это будет "строго". Но ,поскольку вы уже знаете ответ - это не составит труда.

Провести биссектрису EF в прямоугольном треугольнке DCE с прямым углом C можно разными
Вот один из них:
Описать вокруг треугольника окружность с центром О ( он - середина гипотенузы, как известно). 
Из О провести радиус  через середину  DC до пересечения с окружностью  в точке М. По свойству  радиуса и хорды ОМ - перпендикуляр и делит дугу CMD пополам.
Вписанный угол DЕС равен половине центрального DОС и опирается на ту же дугу. 
Половина угла DEC будет опираться на половину дуги DМС, т.е.                       ∠ ЕМ =∠DЕМ, и МЕ - биссектриса вписанного  угла СЕD.
Поставив на пересечении МЕ и DE букву F, получим нужную биссектрису  EF.