Отрезки ав и cd — диаметры окружности. докажите, что: а) хорды bd и ас равны; б) хорды ad и вс равны; в) ∠bad =∠bcd . 7 класс по подробнее.

1) ∠AOC=∠BOD, как вертикальные, OA=OB=OC=OD=r, значит ΔAOC=ΔBOD по первому признаку равенства треугольников и AC=BD
ЧТД 

2) Доказывается точно так же, как в 1), только с углами AOD и BOC; AD=BC

3) AD=BC (доказано в 2) ), AB=BC=d, BD - общая сторона, значит ΔBAD=ΔBCD по третьему признаку равенства треугольников и ∠BAD=∠BCD
ЧТД

AC1 - правильная призма.⇒ ABCD - квадрат . АВ = AD =a . DB1 -диагональ призмы.найдём  из Δ DBB1  по т. Пифагора
(DB1)²=(BB1)²+BD²  .  ΔDBB1 - равнобедренный ,прямоугольный., 
∠BDB1 = ∠BB1D =45° . BD найдём  из  ΔABD  BD = √AD²+AB² = √a²+a² =a·√2.      BD= a·√2   BB1 = BD = a√2  ⇒ DB1= √2·(a·√2)²  =  a√2·√2=.2a
DB1=2 a 
б)Угол между диагональю DB1  и боковой гранью - угол между прямой DB1  и  её проекцией АВ1  на плоскость АВВ1А1, т.к  ∠DA ⊥ АВ , АВ ⊆ пл.АВВ1А1. АВ ⊥ АВ1 ⇒ ΔDAB1 -прямоугольный   ⇒ 
sin∠AB1D =AD / DB1 = a / (2 a )= 1/2  ⇒ 
∠AB1D = 30°
в ) Площадь указанного в условии сечения - площадь прямоугольника ADC1B1 :   S = AD· AB1
Из  ΔABB1  AB1 = √AB² + B1B² = √a² + (a√2)²=√3a² = a·√3

Сто­ро­ны AC, AB, BC тре­уголь­ни­ка ABC равны 3 √2,√13 и 1 со­от­вет­ствен­но. Точка K рас­по­ло­же­на вне тре­уголь­ни­ка ABC, причём от­ре­зок KС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке, от­лич­ной от B. Из­вест­но, что тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми K, A и C по­до­бен ис­ход­но­му.
Най­ди­те ко­си­нус угла AKC, если ∠KAC>90°
---------
 Треугольник АВС тупоугольный (АС²>АВ²+ВС²); против большего угла лежит большая сторона.  
АС-большая сторона.⇒∠ В>90º.  
Т.к. по условию ∠ КАС>90º, а ∆ АКС ~ ∆ АВС, ∠КАС=∠В.  
Тогда, поскольку треугольники подобны,  
∠ КАС >90º, КС -  большая сторона ∆ АКС.   
∠АКС=∠ВСА  
По т.косинусов  
  АВ²=АС²+ВС² -2 АС*ВС*cos∠ACB ⇒  
  cos∠ACB=(АВ²-АС²-ВС²)/( -2АС*ВС)  
 cos∠ACB=6/(-6√2)=1/√2=(√2)/2⇒  
  cos∠АКС=(√2)/2 - это косинус угла=45º