Втреугольнике cab угол равен 30 градусов, acb равен 75 градусов. через вершину a треугольника cab проведена прямая ad так, что образовался угол cab, равный 75 градусов. докажите, что прямые cb и da паралельны

Угол авс = 75°[т.к. угол вас = 30°, угол асв = 75°, сумма углов треугольника 180°. значит 180°-(75°+30°)=75°] прямые da и bc пересечены секущей ва: угол daв = углу авс (накрестлежащие)=> da || bc

объем пирамиды вычисляется по формуле  v = sосн * h / 3

поскольку центр описанного круга - середина гипотенузы, то длина гипотенузы равна  2 * 7,5 = 15 см. по теореме пифагора второй катет равен

√ (15² - 12²) = √ 81 = 9 см, а площадь основания

sосн = 12 * 9 / 2 = 54 см²

поскольку высоты боковых граней равны, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанного круга. радиус его равен

r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * 54 / (9 + 12 + 15) = 108 / 36 = 3 см.

тогда по теореме пифагора высота пирамиды

h = √ (5² - 3²) = √ 16 = 4 см, а ее объем

v = 54 * 4 / 3 = 72 см³.

Пусть вершины a,b,c параллелограмма abcd лежат в  плоскости  α. докажем, что вершина d также лежит в этой плоскости. пусть диагонали ac и bd параллелограмма пересекаются в точке o. так как точки a и c лежат в  α, вся прямая ac лежит в  α, тогда и точка o лежит в  α. значит, прямая bo также лежит в  α, поскольку точки b и o лежат в  α. но вершина d находится на прямой bo, а значит, находится в  α, как и три другие вершины, что и требовалось доказать. вариант 2 - прямые ad и bс параллельны, если точки  a,b,c лежат в  α, то прямая bc лежит в  α. тогда прямая ad может либо лежать в  α, либо быть параллельной  α. но прямая ad имеет с  α общую точку а, значит, прямая ad лежит в  α и все вершины параллелограмма лежат в  α.