Точка m делит сторону bc квадрата abcd в отношении 1: 2, считая от вершины b. точка e делит сторону ab в отношении 1: 3 , считая от вершины b . в каком отношении прямая ec делит стороны am и md треугольника amd ?

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы (доказать это можно, достроив треугольник до прямоугольника, у которого половина одной диагонали будет медианой, а другая диагональ - гипотенузой. тогда гипотенуза равна 8 см. пусть х см - один из катетов , второй тогда тоже будет равен х см. используя теорему пифагора, составим уравнение: х² + х² = 64 2х² = 64 х² = 32 х = 4√2 значит, катеты прямоугольного треугольника равны по 4√2 см. ответ: 8 см; 4√2 см; 4√2 см.

Обозначаем   s(cnm) = s ,  md = m  .    ⇒  mc =  2*md =2m   и   cd =md  +  mc =m +2m =3m  ,    ab =3*cd =3*3m=9m. очевидно:       δanb    ~  δcnm   , причем  коэффициент подобия   k =ab/ cm =9m/2m =9/2 δanb    ~  δcnm  ⇒  h₁/ h =k  ⇒    h₁=k*h =  9h/2.  высота трапеции    abcd равна :     h = h+h ₁=h +9h/2 =11h/2 . s(cnm) =cm*h/2 =2m*h/2 =m*h ; s(abcd) =(ab +cd)/2 *h =(9m+3m)/2 * 11h/2 =  33m*h ; s(cnm)   /   s(abcd) =m*h /33m*h =1 : 33 . * * * * * * * другой способ   * * * * * * * обозначаем   s(cnm) = s ,  md = m  .    ⇒  mc =  2*md =2m   и   cd =md  +  mc =m +2m =3m  ,    ab =3*cd =3*3m=9m. очевидно:       δanb    ~  δcnm   , причем  коэффициент подобия   k =an/cn =  ab/ cm =9m/2m =9/2   . следовательно         s(anb) /  s(cnm) = k²   ⇒   s(anb) =    (81/4)*s . s(anm) / s(cnm) = an / cn = 9/2  ⇒  s(amn) =    (9/2) *s .s(bnc) =  s(bcm)  -    s(cnm)   =  s(amc) -s(cnm) =s(anm)  =  (9/2) *s  .* * *  т.е  .      треугольники  bnc и   anm равновеликие   * * * s(amc) = s(amn) + s(cnm) =  (9/2) *s +s =(11/2)*s . s(adm) /  s(amc) =md  / mc =1/2  ⇒  s(adm) =(1/2)*(11/2) =(11/4)*s. s(abcd) =s(adm) +  s(amcb)=  s(adm)+s(cnm) +  s(anb) +2*s(anm) = (11/4)*s + s +(81/4)*s+  9*s =(92/4)*s+10*s  = 33*s. s  /  s(abcd) = 1 : 33.  p.s.   можно было использоватьs(anm) *s(bcn) =s(cnm) *  s(anb)  ⇔  s²(anm)=  81s/4 *s;   s²(anm) =9s/2  и     т.  д  .