Даны вершины треугольника а (2, -3) b(3, 1) c(4, 2 составить уравнение сторон, высоты bh, медианы ae, биссектрисы cf. найти углы треугольника, его площадь, точку пересечения медианы ae и высоты bh, а также длину высоты bh.

 Точка пересечения медианы AE и высоты BH.
Находим координаты точки Е:

Уравнение прямой, содержащей медиану АЕ:
.
Получаем каноническое уравнение: .
Это же уравнение в общем виде: 4,5х - 9 = 1,5у + 4,5
После сокращения на 1,5, получим: 3х - у - 9 = 0.
Уравнение с коэффициентом: у = 3х - 9.

Чтобы найти уравнение высоты ВН находим уравнение стороны АС, на которую опущен перпендикуляр ВН:


5x -10 = 2y + 6
Уравнение АС в общем виде: 5х - 2у - 16 = 0.
Уравнение с коэффициентом: у = (5/2)х + (16/2) = (5/2)х + 8.
Коэффициент "к" высоты ВН равен -1 / (5/2) = -2 / 5.
Подставляем координаты точки В в уравнение высоты:
ВН: 1 = (-2/5)*3 + в       в = 1 + (6/5) = 11/5.
Получаем уравнение высоты ВН: у = (-2/5)х + (11/5).
Теперь находим точку пересечения медианы АЕ и высоты ВН:
3х - 9 =  (-2/5)х + (11/5)
Приводим к общему знаменателю:
15х - 45 = -2х + 11
17х = 56
 Получаем координаты точки пересечения
х = 56 / 14 =  3.294118.
у = 3* 3.294118 - 9 =  0.882353.

Остальные решения приведены в приложении.

Пусть M — середина AB, а C′ — основание высоты, опущенной из точки C на сторону AB. Пусть E — середина отрезка CH, где H— ортоцентр треугольника ABС. Искомый угол равен удвоенному углу MEH, поскольку ∠MEН является вписанным углом, опирающимся на рассматриваемый в задаче отрезок. Пусть O— центр описанной окружности треугольника ABC. Поскольку CE=CH/2=OM, причем CE и OM параллельны, то четырехугольник OMECявляется параллелограммом. Отсюда следует, что ∠MEC′=∠OCН. Известно, что ∠OCH=|∠A−∠B|. Этот угол легко считается, если использовать тот факт, что ∠OCA=90∘−∠AOC/2=90∘−∠B=∠HCB, а также, что ∠C=180∘−∠A−∠В. Тогда искомый угол равен 80

Построить касательную к данному кругу:
 а) параллельную данной прямой.
Из центра окружности опустить перпендикуляр на данную прямую.
Он пересечёт окружность в точке касания.
Через полученную точку провести прямую, перпендикулярную построенному перпендикуляру к данной прямой.
Эта прямая будет параллельна данной прямой.

б) перпендикулярную к данной прямой.
Из центра окружности опустить перпендикуляр на данную прямую.
Из центра окружности восстановить перпендикуляр к построенному перпендикуляру.
Он пересечёт окружность в точке касания.
Через полученную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой.
Эта прямая и будет перпендикулярна данной прямой.

в) под данным острым углом к прямой.
В любой точке данной прямой построить прямую под заданным к ней углом.
Затем по пункту а) построить параллельную касательную прямую.