Секущая пересекает две данные прямые; при этом образовались внутренние односторонние углы, дин из которых равен 45 градусам, а другой в 3 раза больше. докажите, что данные прямые параллельны.

Один равен =45°,другой=45°×3=135°
135+45=180
следовательно прямые параллельны по 3 п/п.

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.

Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁  =  АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.

Соединив данную точку с вершинами треугольника, получим треугольную пирамиду с равными (это вытекает из  условия) рёбрами. Но тогда будут равны и их проекции на плоскость треугольника и на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Так как вторые проекции лежат на прямых, проходящих через вершину пирамиды и пересекающих плоскость треугольника  в одной точке (равноудалённой от вершин треугольника), то эти проекции совпадают). Но по условию через вершину пирамиды и данную точку проходит и данная в условии прямая. А это значит, что она совпадает с проекцией рёбер пирамиды на плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника. Но эта проекция, а вместе сней и данная прямая, перпендикулярна плоскости треугольника.