Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания ее четверть. найдите площадь полной поверхности конуса, если радиус основания равен r, а угол в сечении при вершине конуса равен 60 градусов.

конус АКВ, К-вершина АВ-диаметр основания, хорда СД уголСОД-центральный=1/4окружности=1/4*360=90, треугольник СОД прямоугольный равнобедренный, ОС=ОД=R, СД²=2ОС²=2R², СД=R√2, треугольник СКД секущая плоскость, КС=КД -образующие, уголСКД=60, треугольник СКД равносторонний, уголКСД=уголКДС=(180-уголСКД)/2=(180-60)/2=60, КС=КД=СД=R√2, полная поверхность=π*ОС*(ОС+КС)=π*R*(R+R√2)=πR²(1+√2)

1. Основания равнобедренной трапеции равны.  - нет

2. Диагональ любого прямоугольника делит его на 2 равных треугольника. - да

3. Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.  - нет

4. Вертикальные углы равны.  - да

5. Если один из двух смежных углов острый, то другой тупой.  - да

6. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.  - нет

7. Диагонали ромба равны.  - нет

8. Существует треугольник с углами 47° , 56° и 87°  - нет

9. Любой четырехугольник, у которого все углы равны является квадратом.  - нет

10. Медиана любого треугольника делит угол пополам  - нет

11. Все углы ромба равны.  - нет

12. Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.  - нет

13. Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.  - да

14. Любой четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.  - да

15. Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.  - да

16. Существует такой четырехугольник, у которого два противолежащих угла равны, а другие два противолежащих угла не равны.  - нет

17. Диагонали параллелограмма равны.  - нет

18. У любой трапеции боковые стороны равны.  - нет

19. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.  - нет

20. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. - да

а) BC1 || AD1, поэтому угол между прямыми AB1 и BC1 равен углу между AB1 и AD1.

ребро куба равно а, поэтому (так как грани куба - квадраты), то AB1=AD1=B1D1, а значит треугольник AB1D1 - правильный(равносторонний),

углы равностороннего треугольника равны 60 градусов,

значит искомый угол между прямыми AB1 и BC1 равен 60 градусов

б)   так как В1С1 - перпендикуляр с точки С1 на грань АА1В1В, то угол между прямой AC1 и гранью AA1B1B равен углу В1АС1

(треугольник АВ1С1 - прямоугольным с прямым углом АВ1С1)

по свойству диагонали квадрата

по свойству диагонали куба

угол В1АС1 равен  arccos корень(2/3)т.е.

угол между прямой AC1 и гранью AA1B1B равен  arccos корень(2/3) градусов