Сторона треугольника 9 см а высота проведенная к ней в три раза меньше стороны найти площадь треугольника

S=(a*h)/2
a=9
h=a/3=9/3=3
S=(9*3)/2=13.5

Построение ясно из рисунка.
Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S  пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н.
Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды  SABCD.

Так как пирамида правильная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата  равна в нашем случае 6√2.
Ее половина ОС=3√2.
Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14.
Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN.
Вариант решения - через подобие прямоугольных  треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые.
Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF.
Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC).
Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO).
Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG.
FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно,  SE=SO-EO=2√14.
EF находим из треугольника EOF по Пифагору:
EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23.
ответ: SH=6√14/√23.

прочитайте примечание после него. 

 Средние линии треугольника параллельны стороне, которую не пересекают. При этом соответственные углы, которые получаются при пересечении параллельных сторон третьей, равны. 

Треугольник, образованный средним линиями исходного треугольника, подобен ему. Поэтому отношение сторон обоих треугольников одинаково. 

Периметр треугольника, образованного средними линиями, 40 см, 

его стороны относятся как 2:3:5.

Примем коэффициент отношения сторон равным а. тогда периметр меньшего треугольника 2а+3а+5а=10а ⇒

10а=40

а=4 см

2а=8 см, 3а=12 см, 5а=20 см

Стороны треугольника, образованного средними линиями исходного. 

8 см, 12 см, 20 см. 

---------

Примечание. Именно так решаются подобные задачи. НО! Здесь получается, что большая сторона равна сумме двух других. В решении по данному условию не может быть выполнено правило о неравенстве треугольника, по которому любая сторона треугольника не может быть равна или больше суммы двух других.  Вопрос не удален, так как задача с таким же условием давалась другим пользователем и в другое время, значит, составлена с ошибкой.