Луч cd - биссектриса угла ace, перпендикулярен отрезку ae. найдите градусную меру угла cae, если ∠cea =. 25°

Если луч СD- биссектриса угла ACE, перпендикулярен отрезку АЕ, значит CD в то же время является высотой и медианой  треугольника ACE, т.е. этот треугольник равнобедренный  (СЕ=СА) с основанием АЕ. Угол СЕА=углу САЕ=25. 

Дан треугольник ABC : A(2;1),B(-1;1),C(3;2).

Найти: 1) длины всех сторон;

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √9 = 3.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) =  √17 ≈ 4,123106.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈ 1,414214.

2) внутренний угол при вершине А;

cos A= АВ²+АС²-ВС²  = -0,707107.  

           2*АВ*АС    

  A = 2,3562 радиан

  A = 135 градусов.

3) площадь  треугольника;

S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 1,5  кв.ед.

4) уравнение прямой BN, параллельной стороне АС;

ВN || АC:  Х-Хв = У-Ув

               Хс-Ха  Ус-Уа

1Х - 1У + 2 = 0,

у = 1х + 2.

5) уравнение медианы СD;

Основания медиан (точки пересечения медиан со сторонами).      

D(ХD;УD) Ха+Хв ;    Уа+Ув   х у

                    2                  2     D 0,5 1.

СD : Х-Хс = У-Ус

ХD-Хс   УD-Ус

1Х - 2,5 У + 2 = 0

у = 0,4 х + 0,8.

6) уравнение высоты АЕ;

АE: Х-Ха = У-Уа

Ус-Ув   Хв-Хс

4Х + 1У - 9 = 0

у = -4х + 9

7) точку пересечения медианы и высоты .

Приравняем: 0,4х + 0,8 = -4х + 9

4,4х = 8,2,

х =8,2/4,4 ≈ 1,864

у = 0,4*1,864 + 0,8 ≈ 1,546.

Построить треугольник - по координатам.

ответ: 60° и 120°

Свойство диагоналей ромба: они пересекаются под прямым углом, и точкой пересечения делятся пополам.

Рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники, катеты 7см и 7√3 см (диагонали пополам)

tg=7/7√3=1/√3 ⇒ ∠1 = 30°

Т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, значит∠2 = 90°-30°=60°

А теперь рассмотрим равнобедренные прямоугольники, образованные двумя прямоугольными. По свойству высоты равнобедренного треугольника, она является и биссектрисой, а значит диагонали ромба являются биссектрисами углов. 30°*2=60°; 60°*2=120°