Развертка боковой поверхности цилиндра - квадрат, площадь которого 8/9. чему равен объем цилиндра?

V =πR²*H .
Развертка боковой поверхности цилиндра прямоугольник ,одна сторона которого длина окружности основания  (2πR) , другая сторона высота цилиндра (H). 
По условию задачи  2πR = H  (развертка квадрат), иначе  R =H/2π ;
S = H² ⇒ H =√S .  
Следовательно :
V =πR²*H = π*(H/2π)²* H =H³/4π =(√S)³/4π  =(S√S)/4π =(8/9)√(8/9)/4π =
(4√2)/27π .

Треугольник равнобедренный, если в нём 2 стороны равны.
Равные стороны - боковые стороны. Третья сторона - основание.
Но, треугольник у которого все стороны равны - равносторонний.

Св-ва равнобедренного треугольника: 
1) Углы при основании равны
2) В равнобедренном треугольника биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой. 
Следствие из 2 св-ва:
1) Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
2) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Если центр описанной около треугольника окружности лежит внутри треугольника, значит треугольник остроугольный.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между этими сторонами.
В нашем случае S = (1/2)AB*BC*Sinα или 3√3 = 2√3*3*Sinα.
Следовательно, Sinα = (3√3)/6√3 = 1/2.
Итак, угол В в треугольнике АВС равен 30°.  Cos30° = √3/2.
По теореме косинусов находим сторону АС треугольника:
АС = √(АВ²+ВС²-2*АВ*ВС*Cos30) или
√(48+9-2*12√3*√3/2)=√21.
Ну, а радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле:  R = a*b*c/4S или в нашем случае R=4√3*3*√21/12√3 = √21.
ответ: радиус описанной около треугольника окружности равен √21.