Впрямоугольном треугольнике найдите неизвестные стороны, если катет и гипотенуза относятся как 12: 13, а второй катет равен 10 см

а^2+b^2=c^2

 

пусть гипотенуза = 13х, а катет=12х

тогда

10^2+(12x)^2=(13x)^2

100+144x^2=169x^2

169x^2-144x^2=100

25x^2=100               | делим на 25

x^2=4

x=+-корень4

х=2

х=-2 не подходит по условию

   

 

тогда гипотенуза=13*2=26

катет=12*2=24

 

 

ответ: катет=24см, гипотенуза=26см

 

 

 

 

 

Из  δamb   по теореме косинусов  : ab² =am² +(bc/2)² -2am*(bc/2)cos∠amb     ( 1)  ; из  δamc : ac² =am² +(bc/2)² -2am*(bc/2)cos∠amc  ; но  cos∠amc =cos(180° -∠amb) =  -  cos∠amb поэтому  ac² =am² +(bc/2)² +2am*(bc/2)cos∠amb   (2)    ;   суммируем    (1) и    (2) получаем  ab² +ac² =2am² + bc²/2  ⇔4am² =2ab² +2ac² -bc² ; но   bc² =ab² +ac²- 2ab *ac*cosa   поэтому : 4am²    =ab² +ac² + 2ab *ac*cosa.  * * *  можно продолжать медиана   md =am    и   m  соединить с вершинами  b  и  c. получится параллелограмм    abdc ,  где верно   2(ab²+ac²) = ad² +bc²  ⇔2(ab²+ac²) = 4am² +bc². для медианы cn :   4cn² =cb² +ca² +2cb*ca*cosc. если δabc  равнобедренный cb =ab  ⇒∠c =∠a , то    4cn² =4am²   или   cn =am  .

Для удобства обозначим ад - а, сд - в, дд1 - с. фотки вставлять не умею поэтому объясню так: точки авсд внизу, точки а1в1с1д1 вверху над ними) рассмотрим плоскость аа1дд1. здесь треугольник адд1 - прямоугольный. тогда по теореме пифагора а^2 + с^2 = ад^2. перейдем к плоскости сдд1с1. здесь треугольник дсс1 прямоугольный. по т. пифагора: в^2 + с^2 = дс1^2 (противоположные стороны равны, поэтому дд1=сс1=с). перейдем к плоскости авсд. здесь треугольник асд прямоугольный. тогда по той же любимой теореме пифагора: а^2 + в^2 = дв^2. объединим три полученных уравнения в систему и подставим известное: а^2 + с^2 = 64; в^2 + с^2 = 100; а^2 + в^2 = 144. теперь выразим а^2 из первого, в^2 из второго и подставим в третье. а^2 = 64-с^2; в^2=100-с^2; 64 - с^2 + 100 - с^2 = 144, решаем последнее уравнение. 2с^2=20 , с = корень из 10, тогда в^2 = 100 - 10, в= корень из 90 = 3 корня из 10. а^2=64-10, а=корень из 54= 3 корня из 6