Четырёхугольник abcd вписан в окружность, к-точка пересечения диагоналей ac и bd. докажите, что ak*ck=bk*dk.

∠ABD = ∠ACD как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
∠АКВ = ∠CKD как вертикальные, значит
ΔАВК подобен ΔDCK по двум углам.
BK : CK = AK : DK
Умножим обе части пропорции на произведение CK · DK:
BK · DK = AK · CK
Что и требовалось доказать.

НАСТЯ ПРИВЕТ

Объяснение:

у прямокутнику abcd на діагоналі ac вибрана така точка k для якої  cb=ck на стороні bc вибрана така точка m для якої km=mc, доведіть що ak+bm+cmу прямокутнику abcd на діагоналі ac вибрана така точка k для якої  cb=ck на стороні bc вибрана така точка m для якої km=mc, доведіть що ak+bm+cmу прямокутнику abcd на діагоналі ac вибрана така точка k для якої  cb=ck на стороні bc вибрана така точка m для якої km=mc, доведіть що ak+bm+cmу прямокутнику abcd на діагоналі ac вибрана така точка k для якої  cb=ck на стороні bc вибрана така точка m для якої km=mc, доведіть що ak+bm+cm

Пусть точки касания вписанных окружностей делят стороны треугольника CBE на отрезки (считая от С) z1 z2 z3, так что EC = z1 + z3; CB = z1 + z2; BE = z2 + z3; аналогично для треугольника EBA AE = z5 + z6; AB = z5 + z4; BE = z6 + z4;
Надо найти z4 - z2; (это - расстояния от точки B до точек касания окружностей с BE)
По условию
z4 + z5 = z1 + z2 + 4;
z1 + z3 = z6 + z5; (точка E - середина AC, AE = CE)
z2 + z3 = z4 + z6; (=BE)
Вычитая из третьего уравнения второе, легко найти
z4 - z5 = z2 - z1;
Если это сложить с первым, то
2*z4 = 2*z2 + 4; 
откуда z4 - z2 = 2;