Св треугольнике abc ab=10 см, bc= 17 см, ca= 21 см. найти высоту bb1 и отрезки, на которые она делит сторону ac

Высота ВВ₁ делит сторону АС на отрезки АВ₁ и В₁С
Пусть
х - АВ₁
(21 - х) - В₁С
Высота ВВ₁ разбивает ΔАВС на два прямоугольных треугольника ΔАВВ₁ и ΔВВ₁С
Для каждого из них применим теорему Пифагора и найдём катет ВВ₁,
В ΔАВВ₁ 
АВ² - АВ₁²  = В₁В², т.е. 
10² - х² = h²
В ΔВВ₁С
ВС² - В₁С² = В₁В² т.е.
17² - (21 - х)² = h²
Приравняем левые части выделенных равенств, получим уравнение
10² - х² = 17² - (21 - х) 
100 - х² = 289 - 441 + 42х - х²
42х = 441 - 289 + 100
42х = 252
х = 252 : 42
х = 6 см - отрезок  АВ₁
21 - 6 = 15 см - отрезок В₁С
h² = 100 - 6² = 100 - 36 = 64 
h = √64 = 8 см
ответ: ВВ₁ = 8 см; АВ₁ = 6 см; В₁С = 15 см.

Пусть в тр-ках авс и а (1)в (1)с (1)  1) равны медианы вк и в (1)к (1) ,  2) угол авк =углу а (1)в (1)к (1)  3) угол свк = углу с (1)в (1)к (1)  доказать, что тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1)  доказательство  в тр-ке авс продолжим медиану вк и отложим км =вк и точку м соединим с точками а и с аналогичные построения сделаем в тр-ке а (1)в (1)с (1), тогда вм =в (1)м (1)  1) тр-к акв =тр-ку скм ( по двум сторонам вк=км и ак=кс и углу между ними -они вертикальные)  2) аналогично тр-к а (1)к (1)в (1) =тр-ку с (1)к (1)м (1)  отсюда следует  3) ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1), < авм = < вмс =< а (1)в (1)м (1) = < в (1)м (1)с (1)  4) тогда тр-к всм = тр-ку в (1)с (1)м (1) по стороне вм =в (1)м (1) и двум прилежащим углам  5) отсюда вс =в (1)с (1) и ав=мс =а (1)в (1) =м (1)с (1),  6) проэтому тр-к авс = тр-ку а (1)в (1)с (1) по двум сторонам и углу между ними  второй способ состоит в том, что по теореме " площадь тр-ка равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними выражают стороны ав и вс через медиану вк и углы авк и свк применяя соотношение s (авс) = s (авк) + s (свк) и доказывают, что ав= а (1)в (1) и вс= в (1)с (1)

первая точка S будет вершиной пирамиды с боковым ребром SA=40

другая точка Q будет вершиной меньшей пирамиды с боковым ребром QA=25 и QS=25

рассмотрим прямоугольный треуг. SAO, Q лежит на OS

AO=половина диагонали квадрата (основания пирамиды)=a/корень(2), где a - сторона квадрата

из OAQ по т.Пифагора 25*25 = a^2/2 + OQ^2

из OAS по т.Пифагора 40*40 = a^2/2 + (OQ+25)^2 = a^2/2 + OQ^2 + 50*OQ + 25*25 =

25*25 + 50*OQ + 25*25 = 2*25*25 + 50*OQ

50*OQ = 40*40-2*25*25 = 350

OQ = 7

25*25 = a^2/2 + 7*7

a^2/2 = 576

a^2 = 1152