Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см а радиус вписанной окружности этого треугольника равен трём найдите периметр этого треугольника

Воспользуемся формулой радиуса окружности, вписанной в прямоугольный тр-к: r=(a+b-c)/2; 2r=a+b-c. Прибавим к обеим частям равенства 2с: 2r+2c=a+b+c; P=2r+2c=2*3+2*17=40(cм).

Пусть у нас будет треугольник ABC с гипотенузой BC, O - центр вписанной окружности. Проведем радиусы OM и ON к боковым сторонам AB и AC соответственно. Получим четырехугольник с равными смежными сторонами, т.е. - это квадрат. Отрезки касательных равны, т.е. AN=AM=3 см; CN=CF=х см; BM=BF=y. Длина гипотенузы = x+y=17 см. Значит, х=17-y
Длины сторон можно связать по теореме Пифагора:
AB^2+AC^2=BC^2
(17+3-x)^2+(x+3)^2=17^2
400-40y+x^2+x^2+6y+9=289
2y^2-34x+120=0
y^2-17x+60=0
По теореме Виета найдем корни этого квадратного уравнения:
x1+x2=17
x1*x2=60
x1=12; x2=5 - это и есть длины обоих неизвестных касательных, т.к. числа эти взаимозаменяемы.
Т.е. дины катетов = 3+12=15 (см) - первый; 3+5=8 (см) - второй, следовательно, P = 17+15+8=40 (см)
ответ: 40 см.

ответ: 600 см²

Объяснение: В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Примем одну его диагональ равной х, тогда вторая - х+10.

4•25²=х²+(х+10)² ⇒ 2х²+20х-2400=0. Сократив все члены уравнения на 2, получим приведенное квадратное уравнение х²+10х-1200=0.

D=b²-4ac=10²-4·1·-1200=4900;  дискриминант положительный. ⇒ уравнение имеет два корня. х=(-b±√D):2 ⇒ х₁=30, х₂=-40 ( не подходит).

d₁=30 см, d₂=30+10=40 см

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

S=0.5•d₁•d₂=30•40:2=600 см²

Диагонали в этой задаче можно найти по т.Виета: .Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту  с противоположным знаком, а произведение - свободному члену. ⇒ х₁+х₂=-10;   х₁•х₂=1200 х₁=30, х₂=-40.

В задании, очевидно, надо понимать фразу так: расстояние от  СТОРОНЫ основания до противолежащей боковой грани равно 5 корень из 3.

Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получим равнобедренный треугольник, углы α при основании которого равны двугранным углам пирамиды, а высота Н равна высоте пирамиды.

Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды.

Находим синус угла при основании треугольника:

sin α = 5√3/10 = √3/2. Значит, α = 60°.

Отсюда находим высоту пирамиды Н = 5*tg 60° = 5√3.

Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*10²*5√3 = 500√3/3 куб.ед.