Какие из следующих утверждений верны? 1) если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны 2) средняя линия трапеции параллельна ее основаниям 3) длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов думаю 2 3

Второе и третье верные

2) средняя линия трапеции параллельна ее основаниям 3) длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов

1) В данной задаче фокальные радиусы должны быть катетами прямоугольного треугольника, вписанного в окружность радиусом, равным расстоянию от центра гиперболы до её фокуса (это параметр «с»).

По заданному уравнению гиперболы определяем длины полуосей.

a = √16 = 4, b = √9 = 3.

Тогда с = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

Искомая точка А – это точка пересечения заданной гиперболы и окружности, уравнение которой x² + y² = 5².

Отсюда y² = 25 - x² подставляем в уравнение гиперболы.

(x²/16) – ((25 - x²)/9) = 1,

9x² – 400 + 16x = 144,

25x² = 544,

x² = 544/25,

x = √(544/25) = 4√34/5 ≈ 4,66476,

y = √(25 - x²) = √(25 – (544/25)) = √(81/25) = 9/5 = 1,8.

ответ: точка А((4√34/5); 1,8).

2) Расстояния от фокусов до точки гиперболы – это фокальные радиусы.

По заданию √((x + c)² + y²) = 2√((x - c)² + y²).

Возведём в квадрат обе части.

(x + c)² + y² = 4((x - c)² + y²), раскрываем скобки и подставляем найденное значение с = 5.

x² + 10x + 25 + y²= 4(x² - 10x + 25 + y²),

x² + 10x + 25 + y²= 4x² - 40x + 100 + 4y²,

3x² - 50x + 75 + 3y² = 0.

Решаем систему из полученного уравнения и уравнения гиперболы.

{9x² – 16 y² - 144 = 0       |x3 =  27x² – 48 y² - 432 = 0

{3x² - 50x + 75 + 3y² = 0  |x16 = 48x² - 800x + 1200 + 48y² = 0

                                                  75x² - 800x + 768 = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение.

Ищем дискриминант:

D=(-800)^2-4*75*768=640000-4*75*768=640000-300*768=640000-230400=409600.

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√409600-(-800))/(2*75)=(640-(-800))/(2*75)=(640+800)/(2*75)=1440/(2*75)=1440/150=9,6;

x_2=(-√409600-(-800))/(2*75)=(-640-(-800))/(2*75)=(-640+800)/(2*75)=160/(2*75)=160/150=16/15≈1.066667.

Второй корень отбрасываем, так как гипербола не имеет такой абсциссы.

Находим значение у.

y = √((1/16)(9x² - 144)) = √((1/16)*(9*9,6² - 144) = √17136/20 = 3√119/5.

ответ: точка В(9,6; 3√119/5).

Объяснение:

8.

Дано: Окр.О;

∪AmB : ∪AnB = 9 : 11

Найти: ∠АОВ

Вся окружность - 360°.

Пусть ∪AmB = 9x, тогда ∪AnB = 11x.

Составим уравнение:

9х + 11х = 360°

20х = 360°

х = 18°

⇒ ∪АmB = 18°·9 = 162°

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠АОВ = 162° (центральный).

9.

Дано: ∠D = 70°

Окр.О - вписанная;

Найти: ∠АСВ

Рассмотрим DACB.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

⇒ ∠DAO = ∠OBD = 90°

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

⇒ ∠АОВ = 360° - ( 70° + 90° + 90°) = 110°

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

⇒ ∠АСВ = ∠АОВ : 2 = 110° : 2 = 55° (вписанный)

10.

Дано: Окр.О

АС и ВD - диаметры.

∠AOD = 110° - центральный.

Найти: ∠АСВ

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

⇒ ∪AD = ∠AOD = 110°

Диаметр делит окружность на две полуокружности.

⇒ ∪DAB = 180°

∪AB = 180° - ∪AD = 180° - 110° = 70°

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠ACB = ∪AB : 2 = 70° : 2 = 35°