Втреугольнике mnk mk=12, nk=16, угол к=альфа. мм1 и nn1 медианы, которые пересекаются в т.о. найти площадь четырехугольника о .

Дано :ΔMNK ; MK =12 ; NK =16 ;∠MKN =α; NM₁=M₁K ; MN₁ =N₁K.

S(N₁OM₁K)  - ?

обозначаем  S(MNK) =S.
---
S(NN₁K) =S/2 ; 
S(NOK)/S(NN₁K) =NO/NN₁=2/3⇒S(NOK)=(2/3)*S(NN₁K) =(1/3)*S.
---
S(OM₁K) =S(OM₁N) =(1/2)* S(NOK) =(1/6)* S ;
S(ON₁K) / S(NOK) =ON₁/NO =1/2 ⇒S(ON₁K)=(1/2)*S(NOK)=(1/6)*S.

S(N₁OM₁K) = S(OM₁K) + S(ON₁K)  =(1/6)* S+(1/6)* S=(1/3)*S .

S(N₁OM₁K) =  (1/3) *(1/2)*MK*NK*sin∠MKN =(*1/6)*12*16*sinα=32sinα.

ответ : 32sinα .

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Объяснение:

Доказательство

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.

Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов

→

n

=(A, B) и

→

M0M

=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в

Справочник

Прямая, плоскость

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.

Как работает сервис

Наши социальные сети

Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач

Содержание:

Общее уравнение прямой: основные сведения

Неполное уравнение общей прямой

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Составление общего уравнения прямой

Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Теорема 1

Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.

Доказательство

указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.

Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.

Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.

Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов

→

n

=(A, B) и

→

M0M

=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора

→

n

=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы

→

n

=(A, B) и

→

M0M

=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.

Общее уравнение прямой: основные сведения

Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение

A

x

+

B

y

+

C

=

0

определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.

Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени

A

x

+

B

y

+

C

=

0

.

Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую

a

; точку

M

0

(

x

0

,

y

0

)

, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой

→

n

=

(

A

,

B

)

.

ЗАДАЧА 5:

Дано: SRT, SPM, KMT, PS=KT, RM - медиана треугольника SRT, <SPM=<MKT

Доказать: SPM=TKM

Доказательство: треугольник SPM = треугольнику TKM по катету KT=SP (по условию) и гипотенузе SM=MT (по условию).

ответ: доказано.

ТЕОРЕМА: Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие прямоугольные треугольники равны.

ЗАДАЧА 10:

Дано: ABCD, AD=BC, <ADB=<CBD

Доказать:DAB=BCD

Доказательство: треугольники ABD и CDB равны по 2 катетам AB=DC ( по условию), BD- общий катет.

ответ: доказано.