Как относится сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, к стороне правильного треугольника, описанного вокруг этой окружности ?

Сторона треугольника через радиус вписанной окружности - а₁=6r/√3;
Сторона треугольника через радиус описанной окружности - а₂=r√3;
a¹/a₂=6r/√3/r√3=2.

30; 36,6

Объяснение:

Дано: ∆ABC1 - прямоугольный треугольник:

AB – гипотенуза = 13

CB – катет = 12

∆ABC2 - равнобедренный треугольник:

AB = AC = 10 (по условию и определению треугольника)

AC – основание = 8

Найти: S ∆ABC1, ∆ABC2 (площадь)

Решение: Рассмотрим ∆ABC1:

Найдём AC, чтобы узнать площадь первого треугольника, по теореме Пифагора (c²=a²+b²)

AC = √AB² - CB²

AC = √169 - 144

AC = √25

AC = 5

S = 0,5 × AC × AB

S = 0,5 × 5 × 12

S = 30

Рассмотрим ∆ABC2:

S = b/4√4a²-b²

S = 8/4√4×10²-8²

S = 2√4×100-64

S = 2√400-64

S = 2√336 или 36,6

Cм. рисунок и обозначения в приложении
По теореме косинусов
(2√3)²=6²+х²-2·6·х·cos 30°
12=36+x²-6√3·x=0
x²- 6√3·x+24=0
D=108-96=12
x=(6√3-2√3)/2=2√3     или    х=(6√3+2√3)/2=4√3

если х=2√3, то диагональ делит параллелограмм на два равнобедренных треугольника.
Углы параллелограмма 60° и 120°

если х=4√3
то по теореме косинусов ( α -  угол параллелограмма , лежащий против диагонали)
6²=(2√3)²+(4√3)²-2·2√3·4√3 ·cos α      ⇒     36=12+48-48·cosα⇒

cosα=0,5     

α=60°
второй угол параллелограмма 120°
см. рисунок 2
ответ 120° и 60°