Найти cos2альфа, если sin альфа = 5 тринадцатых и альфа -угол 2 четверти

cos2a=1-2sin^2a, cos2a=1-2*5/13*5/13=1-50/169=(169-50)/169=119/169. сos2a=-119/169

находим объём пирамиды.

              |x1     y1     z1|               |4     3     -1|

v = (1/6)*|x2   y2   z2|   =   (1/6)*|3     2     -5|

              |x3   y3   z3|               |5     5       1|   = (1/6)* 4*2*1 + 3*(-5)*5 + (-1)*3*5 -

(-1)*2*5 - 4*(-5)*5 - 3*3*1 = (1/6)*19 = 19/6.

находим площадь треугольника авс, лежащего против конца вектора "а".   формула векторного произведения:

произведение векторов а  ×  b  = {aybz  -  azby;   azbx  -  axbz;   axby  -  aybx}.       s(abc) = (1/2)*b*c =    

i j k

bx by bz

cx cy cz

  =  

i j k

3 2 -5

5 5 1

  = i (2·1 - (-5)·5) - j (3·1 - (-5)·5) + k (3·5 - 2·5) =  

= i (2 + 25) - j (3 + 25) + k (15 - 10) = {27; -28; 5}.

площадь равна (1/2)√(27² + (-28)² + 5²) = (1/2)√1538 ≈ 19,60867.

теперь находим искомое расстояние от конца вектора а до плоскости авс как высоту пирамиды.

н = 3v/s(abc) = 3*(19/6)/(√1538/2) = 19/√1538 ≈ 0,48448.

Поскольку боковые грани пирамиды образуют равные двугранные углы с плоскостью основания, высота пирамиды проходит либо через центр вписанной, либо через центр одной из вневписанных окружностей треугольника основания. пусть высота пирамиды проходит через центр  o  вписанной окружности основания  abc  данной треугольной пирамиды  abcd  , в которой  ac =  3  ,bc =  4  ,  ab =  5  . так как  ac2  + bc2  =  9  +  16  =  25  = ab2, то треугольник  abc  – прямоугольный. пусть  o  центр вписанной окружности треугольника  abc  (рис.1),  r  – её радиус,  m  – точка касания окружности со стороной  ab  . тогда  r =  (ac + bc - ab)  =  (3+4-5)  =  1. так как  om    ab  , то по теореме о трёх перпендикулярах  dm    ab  , поэтому  dmo  – линейный угол двугранного угла между боковой гранью  dab  и плоскостью основания пирамиды. по условию     dmo =  45o  . из прямоугольного треугольника  dmoнаходим, что  do = om = r =  1. пусть  oc  центр вневписанной окружности треугольника  abc  , касающейся стороны  ab  (рис.2),  rc  – её радиус,  n  – точка касания окружности со стороной  ab  . тогда  rc  =  (ac + bc + ab)  =  (3+4+5)  =  6. аналогично предыдущему из прямоугольного треугольника  dnoнаходим, что  doc  = on = rc  =  6. пусть  ob  – центр вневписанной окружности треугольника  abc  , касающейся стороны  ac  ,  rb  – её радиус,  k  – точка касания окружности со стороной  ac  . тогда  rb  =    (ab + bc - ac)  =  (5+4-3)  =  3. из прямоугольного треугольникаdko  находим, что  dob  = ok = rb  =  3. пусть  oa  центр вневписанной окружности треугольника  abc  , касающейся стороны  bc  ,  ra  – её радиус,  l  – точка касания окружности со стороной  ac  . тогда  ra  =  (ab + ac - bc)  =  (5+3-4)  =  2. из прямоугольного треугольникаdlo  находим, что  doa  = ol = ra  =  2.