Основание прямой призмы - параллелограмм со сторонами 8 и 15 см и углом 120 градусов. боковая поверхность призмы имеет площадь 460 кв. см. найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. (если можно, , с рисунком и подробным объяснением)

Боковая поверхность прямой призмы равнапроизведению периметра основания на высоту. Периметр основания равен(8+15)*2=46 см. Боковая поверхность 460 см². 460/46=10 см - это высота.
Площадь сечения равна произведению диагонали АС на высоту.
Диагональ АС ищем по теореме косинусов: 
АС² = АВ²+ВС²-2*АВ*АС*cosB.  ∠B=60°, cosB=0.5.
AC² =8²+15²-2*8*15*0.5 289-120=69.
AC=√69. Площадь сечения равна √69 * 10 = 10√69см²

В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С=90°. Найти указанную сторону , если а) АВ-? , sinА=0,2 ,ВС=5;  б) АВ-? , cosА=0,6 ,ВС=12 ;

в)ВС-? ,sinА=2√10/11, АС=15

Объяснение:

а)Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе :

sinА=СВ/АВ  , 0,2=5/ АВ , АВ=50:2=25.

б) По основному тригонометрическому тождеству sin²A+cos²A =1 получаем :    sin²A+0,6² =1  ,   sin²A=0,64 , sinA=0,8 , т.к  0° <∠А<90°.

sinА=СВ/АВ  , 0,6=12/ АВ , АВ=120:6=20.

в) 1+сtg²А=1/sin²А ( формула),  

sin²А=(2√10/11)²=40/121  ,  1/sin²А= 121/40,

1+сtg²А=121/40 , сtg²А=81/40 , сtgА=9/(2√10).

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету :

сtgА=АС/СВ  ,  9/(2√10)=15/ВС , ВС=10√10/3

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 6. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно. Через прямую MN перпендикулярно основанию пирамиды построена плоскость. Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABCD этой плоскостью.

Объяснение:

1) О-центр основания. SO⊥(ABC) как высота правильной пирамиды . Проведем через MN плоскость параллельную основанию , квадрату АВСD. Пусть РК⊥MN  .Через К проведем КН ║SO.  Через H проведем М₁N₁║MN  . В сечении- равнобедренная трапеция  МNN₁М₁ .

2) Р=MN+М₁N₁+2*NN₁.

ΔАВS ,  МN -средняя линия , значит  MN=1/2*AB , МN=1/2*4=2.

МN -средняя линия , а значит МN║АВ , и  М₁N₁║АВ по построению  ⇒  М₁N₁=4.

Проведем в трапеции высоту  EN .Высота EN=1/2 *SO ( по т. Фалеса).

SO=√(AS²-AO²).

                 ΔABC , AO=1/2*AC=1/2√(4²+4²)=2√2.

SO=√(AS²-AO²)=√(6²-8)=√28=2√7 ⇒EN=√7.

В равнобедренной трапеции отрезок   ЕN₁=(4-2):2=1 .

Найдем NN₁ из ΔNN₁Е по т. Пифагора :

NN₁=√(EN²+EN₁²)=√(1+7)=2√2.

Р=MN+М₁N₁+2 NN₁=6+4√2