Осевое сечение конуса треугольник, угол между равными сторонами которого 2а. радиус окружности, описанной около этого треугольника, r. найдите высоту конуса

АВС - осевое сечение конуса. Тр-к АВС - равнобедренный. ВО - высота конуса - высота сечения, биссектриса и медина, проведенная из вершины В. Угол АВО равен углу ОВС = а. К - центр описанной около треугольника АВС окружности.КМ - высота и медиана равнобедренного тр-ка ВКС. ВМ= МС =ВК умнож на синус угла а, ВК = радиусу опис окружности. ВС = 2ВМ.Тогда высота конуса ОВ = ВС умножить на косинус угла а. ОВ = двум радиусам умноженным на синус угла а и на косинус угла  а = радиус умножить на синус двойного угла а. 

1. Диагонали прямоугольника равны (свойство прямоугольника)
АС = BD
2. Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам (свойство параллелограмма)
AO=BO=CO=DO
Значит, треугольника АОВ - равнобедренный с равными боковыми сторонами АО и ВО.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны (свойство равнобедренного треугольника):
угол АВО = углу ВАО
4. Угол AOD - внешний угол треугольника АОВ. Градусная мера внешнего угла треугольника равна сумме двух внутренних углов этого треугольника, не смежных с ним:
∠AOD = ∠ABO + ∠BAO = 36° + 36° = 72°

№1.Дано :

Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.

Отрезки MK и NP - диагонали.

Точка О - точка пересечения диагоналей.

∠MON = 64°.

Найти :

∠ОМР = ?

Решение :Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.

Отсюда имеем, что -

Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).

Причём МО и ОР - боковые стороны.

Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).

Поэтому -

∠ОМР = ∠ОРМ.

∠NOM - внешний для ΔМОР.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Отсюда -

∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ

∠ОМР + ∠ОРМ = 64°

Учитывая равенство углов -

∠ОМР = 64° : 2 = 32°.

ответ :

32°.

№2.Дано :

Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Один из углов больше другого на 30°.

Найти :

∠А = ?

∠В = ?

∠С = ?

∠D = ?

Решение :

Про какие именно углы идёт речь в задаче?

Дело в том, что -

Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).

Отсюда -

∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.

Аналогично и с ∠А и ∠В.

Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.

Составляем уравнение и решаем его -

∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°

(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°

4х + 60° = 360°

4х = 300°

х = 75°.

∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°

∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°

∠С = х = 75°

∠D = х = 75°.

ответ :

105°, 105°, 75°, 75°.

№3.Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Стороны АВ и ВС - смежные.

ВС : АВ = 3 : 1.

Р(ABCD) = 40 см.

Найти :

АВ = ?

ВС = ?

CD = ?

AD = ?

Решение :

Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.

Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.

Отсюда -

Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)

40 см = 2*(х + 3х)

х + 3х = 20 см

4х = 20 см

х = 5 см.

АВ = х = 5 см

ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Отсюда -

АВ = CD = 5 см

ВС = AD = 15 см.

ответ :

5 см, 15 см, 5 см, 15 см.

№4.Дано :

Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.

Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.

Найти :

∠А = ?

∠В = ?

∠С = ?

∠D = ?

Решение :

∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).

Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).

Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.

Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).

Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Составим систему и решим её -

1)

2)

∠C = x = 114°

∠D = y = 66°.

ответ :

90°, 90°, 114°, 66°.