Через точку а(3; 4; 12), принадлежавшую сфере х^2 +у^2 +z^2=169 проведена плоскость, перпендикулярная оси oz. найдите радиус сечения.

имеем сферу радиусом    с центром в начале координат.ось z, как и други оси, пересекает в точке z=13. плоскость пересекает ось z в точке z=12. если сделать рисунок можно увидеть, что искомый радиус находится теоремой пифагора:

 

 

заметим, что треугольники abd и cbd - равносторонние и равны. легко доказать, что высоты bh и bf пересекаются под углом 60 градусов. при этом эти высоты равны, как высоты в равных друг другу равносторонних треугольниках. значит, треугольник hbf - равносторонний. сторона его равна 12/3=4 см. тогда легко найти и сторону ромба, как гипотенузу треугольника abh с известным катетом bh и углом a=60. ab= hb/(корень из 3 пополам) . тогда площадь ромба будет равна произведению высоты на сторону: 3*3/(корень из 3 пополам) =6*(корень из трёх) . здесь * - знак умножения.

1. рассмотрим треугольники bmn и bac. 

< b общий,  < bmn =  < bac,  < bnm =  < bca (как соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных линий (mn и ac) третьей). 

по третьей теореме подобия треугольников,  δbmn подобен  δbac. следовательно:

mn/ac = bm/ab

9/12 = bm/18

bm = 13,5

ответ: 13,5

2. cos< dac = ad/ac

cos30° = 3/ac

√3/2 = 3/ac

ac = 6/√3 = 2√3

по теореме пифагора:

ac² = ad² + dc²

(2√3)² = 9 + dc²

dc² = 12-9

dc² = 3

dc =  √3

sδ = ad*dc/2 = 3*√3/2 = 1,5√3

проведем высоту dh. в прямоугольном треугольнике dha:

sin< dah = dh/da

sin30° = dh/3

1/2 = dh/3

dh = 1,5

ответ: a)√3 и  2√3   б)1,5√3   в) 1,5