Отрезок mh пересекает некоторую плоскость в точке k. через концы отрезка проведены прямые hp и me, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках p и e. найдите pe, если hp = 4 см, hk = 5 см, me = 12 см.

по теореме пифагора kp=3, треугольники mek и kph подобны (углы pkh и mke равны как вертикальные), отсюда me/ph=ek/kp; ek=(12/4)*3=9; pe=pk+ek=9+3=12

Пусть abc - исходный равносторонний треугольник. обозначим за d,e,f центры квадратов, построенных на сторонах ab, bc, ac соответственно. распишем площадь шестиугольника как сумму площадей треугольников, его составляющих: s=adb+bec+afc+abc. первые 3 площади равны между собой. в построенных квадратах сторона также равна a, тогда диагональ равна a√2, а половина диагонали (в частности, ad и db) a√2/2. заметим, что угол adb прямой, тогда площадь треугольника adb равна   1/2*a√2/2*a√2/2=a²/4. значит, суммарная  площадь первых трёх треугольников равна 3a²/4. площадь равностороннего треугольника со стороной a равна  √3a²/4, тогда площадь шестиугольника равна  a²/4+√3a²/4=(√3+1)a²/4.

Основаниями правильной треугольной призмы abca1b1c1 являются равные правильные треугольники со стороной а.  через сторону основания ab под углом 45° к плоскости основании призмы проведено сечение, пересекающее ребро cc1. треугольники dac и dbc равны по двум сторонам и углу между ними: ac=bc (как стороны правильного треугольника) cd - общая сторона ∠acd =  ∠bcd = 90° (т.к. призма правильная) ⇒ ad = bd  ⇒ сечение - равнобедренный треугольник с основанием ab в прямоугольном треугольнике acd: ∠acd = 90° ∠dac = 45° ∠adc = 180 - 90 - 45 = 45 (°) ⇒ треугольник acd - прямоугольный равнобедренный с основанием-гипотенузой ad, боковыми сторонами - катетами ac = dc = a по теореме пифагора: ad² = ac² + dc² ad² = a² + a² ad² = 2a² ad = a√2 (см) в равнобедренном треугольнике abd: de - высота, а также медиана и биссектриса, проведенная к основанию  ⇒ ae = ab/2 ae = a/2 в прямоугольном треугольнике ade: гипотенуза ad = a√2 катет ae = a/2 по теореме пифагора ad² = ae² + de² (a√2)² = (a/2)² + de² de² = 2a² - a²/4 de² = 8a²/4 - a²/4 de² = 7a²/4 de =  √(7a²/4)             a√7 de = (см)               2 s(abd) = 1/2 * a * de                     1                   a√7         a * a√7           a²√7 s(abd) = *   a    * = = (см²)                     2                     2             2 * 2                  4 не соответствует ни одному из вариантов ответа.