Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр, делит его на отрезки в отношении 9: 16. радиус окружности равен 25 см. найдите длину перпендикуляра.

эти отрезки диаметра очевидно равны 18 и 32. если точку окружности соединить с концами диаметра получится прямоугольный треугольник, а искомый отрезок будет в нем высотой к гипотенузе (обозначим h). 

такая высота делит прямоугольный треугольник на два, ему же подобные. отсюда

h/32 = 18/h; h^2 = 32*18 = 64*9 : h = 8*3 = 24.

 

добавлено позже : ) 

кстати, все треугольники получились "египетские". (18,24,30) (24,32,40) (30,40,50)

Дано: треугольник АВС, ∠ABC = 60°, AB=√3, BC=2√3, BE - биссектриса.

Найти:BE

Рассмотрим треугольник АВС.

По теореме косинусов:

AC²=AB²+BC²-2AB*BC*cos∠B

AC² = 3 + 12 - 2*2√3*√3*0,5

AC²=15-6

AC²=9

AC=3 см

Все из того же треугольника ABC по теореме косинусов:

AB²=BC²+AC²-2*BC*AC * cos∠C

3=12+9 - 2*3*2√3 cos∠C

3=21-12√3cos∠C

12√3cos∠C=18

cos∠C = 18/12√3 = 3/2√3

Значит, cos∠C= 3/2√3

Избавимся от иррациональности в знаменателе (домножим числитель и знаменатель дроби на √3)

cos∠C = 3√3/6

Cos∠C = √3/2

∠C = 30°

∠A = 180°-∠B-∠C=180°-60°-30°=90°

Видим, что ∠А - прямой, а это значит, что треугольник АВС - прямоугольный

∠ABE = 1/2 ∠ABC = 1/2*60°=30°

Рассмотрим ΔABE (∠A=90°)

cos∠B =

cos30° = √3 / BE

√3/2 = √3/BE

Значит, ВЕ = 2 см

ответ: ВЕ=2 см

ответ: угол А=45°, угол В=35°

Объяснение: обозначим вершины треугольника А В С, где угол С=90°, высоту–СН, биссектрису СК. Так как биссектриса делит угол С пополам то угол КСВ=45°. Рассмотрим полученный ∆СНК. Он прямоугольный: угол СНК=90°; угол КСН=10°, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, то угол СКН=90-10=80°. Теперь рассмотрим полученный ∆КВС. Угол СКВсмежный с углом СКН и так как сумма смежных углов составляет 180°, то

угол СКВ=180-80=100°. Также в этом треугольнике мы нашли угол КСВ=45°. Так как сумма углов треугольника составляет 180°, то

угол В=180-100-45=35°. Теперь найдём угол А. Угол А=90-35°=45°