Можно ли описать окружность около четырёхугольника, если его углы, взятые в последовательном порядке равны 70, 130, 110, 50 градусов

Можно, поскольку в этом случае сумма противолежащих углов равна 180 градусов, т.е.  стягиваемые ими дуги образуют окружность.

Дан четырёхугольник? Т.к.треугольники AOD и COB подобные (AO:OC=OD:OB), углы ODA и OBC, а также АОСи СОD равны (как накрест лежащие), значит прямые ВС и АD параллельные. Имеем две стороны четырёхугольника параллельны,а две другие не параллельны, из-за того, что иагонали ВD и АС не равны. Если бы они были параллельны. то мы имели бы прямоугольник, а в нём диагонали равны. Значит, мы имеем четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. ПО определению мы имеем трапецию. чтд

Видимо условие задачи не правильное, угол при основании на 18 градусов больше угла противолежащего основанию, а не на 17, иначе получается приблизительный ответ.

Пусть угол противолежащий основанию равен х градусов, тогда угол при основании будет равен (х + 18) градусов. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, получаем 2(х + 18). Зная, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, составим и решим уравнение:

х + 2(х + 18) = 180

х + 2х + 36 = 180

3х = 144

х = 48 (градусов) - угол противоположный основанию

48 + 18 = 66 (градусов) - каждый угол при основании

ответ: 48, 66, 66.