Докажите, что четырехугольник авсд с вершинами в точках а(1, 3, 2), в(0, 2, 4), с(1, 1, 4), д(2, 2, 2) есть параллелограмм. вычислите cos a.

Найдем стороны четырехугольника АВСD:
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА.
АВ{-1;-1;2}, |AB|=√(1+1+4)=√6.
BC{1;-1;0}, |BC|=√(1+1+0)=√2.
CD{1;1;-2},|CD|=√(1+1+2)=√6.
AD{1;-1;0}, |AD|=√(1+1+0)=√2.
Итак, в четырехугольнике противоположные стороны ПОПАРНО равны: AB=CD, BC=DA.
Если противоположные стороны ПОПАРНО равны, то четырехугольник АВСD - параллелограмм.(свойство).
Что и требовалось доказать.
Теперь определим угол между двумя соседними векторами АВ{-1;-1;2} и AD{1;-1;0}.
Угол α между вектором a и b:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+x2²)].
В нашем случае: cosα=(1+1+0)/[√(1+1+4)*√(1+1+0)] = 2/(2√3) = 1/√3 или
CosA=√3/3.

Ну смотри, угол А относится к углу B, как 2:1. Потому что угол А мы взяли два раза, тоесть две части, два угла B, а угол B, поkучается, как одна часть, один раз он взят. Теперь решаем:
Знаем, что сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов.
Посчитаем кол-во частей: 2+1=3, все части между собой равны, так как это по сути три уголка B/
Теперь 180 градусов поделим на кол-во частей: 180:3=60 град. - это одна часть.
Смотрим, угол А состоит из двух частей, значит 60*2=120 град.
угол В - 60 град.
В параллелограмме противоположные углы равны

Луч проектора может быть упрощенно представлен в виде равнобедренного треугольника с центром в точке O.

Тогда перемещая основание этого равнобедренного треугольника мы может получать экраны различных высот. Так наш экран А высотой 50 см представим основанием MN (при этом высота OH проведенная к основанию равна 100 см).

Второй экран В высотой 150 изображен в виде основания PQ и нам требуется найти высоту OE.

ΔOMN подобен ΔOPQ по двум углам (∠O - общий, ∠OMN = ∠OPQ как соответственные). Из подобия треугольников вытекает подобие сторон и линейных элементов треугольника, в том числе высот, следовательно:

ответ: Экран должен быть установлен в 300 см от проектора